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Degenerations of Lie algebras and pre-Lie algebras

Thomas Benes

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Dietrich Burde

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DOI

10.25365/thesis.14899

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-30116.51529.381070-3

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

In dieser Arbeit beschÄftigen wir uns mit dem Orbitabschlussproblem fÜr Algebren in der Theorie der algebraischen Transformationsgruppen. Die allgemeine lineare Gruppe Gl(V) über einem Körper K operiert auf dem Vektorraum Alg(C), dem Raum aller K-Algebra-Strukturen, durch Basiswechsel. Liegt bezüglich der Zariski-Topologie eine K-Algebra-Struktur B im Orbitabschluss einer K-Algebra-Struktur A so spricht man von einer Degeneration A nach B. Das Orbitabschlussproblem in dieser Form stellt die Frage nach der Klassifikation aller Degenerationen einer bestimmten Algebra-Struktur in einer fixen Dimension. In der vorliegenden Arbeit werden alle Degenerationen von Novikovalgebren über C in der Dimension drei klassifiziert. Jene Algebren bilden eine Unterklasse linkssymmetrischer Algebren, sogenannter pre-Liealgebren, deren sämtliche Degenerationen wir in der Dimension zwei bestimmen. Überraschenderweise ist dies bereits sehr aufwendig. Gibt es in dieser Dimension lediglich zwei nicht isomorphe Liealgebren so haben wir unendlich viele nicht isomorphe 2-dimensionale pre-Liealgebren. Wegen der großen Anzahl an Algebren und damit verbunden eine noch größere Anzahl möglicher Degenerationen haben sich beide Klassifikationen als äußerst umfangreich erwiesen. Um diese Ziele zu erreichen werden bekannte Methoden zum Studium von Liealgebra-Degenerationen auf die Klasse der pre-Liealgebren verallgemeinert und erweitert. Bei diesen handelt es sich beispielsweise um die Cpq-Invariante und um Semi-Invarianten wie etwa die Dimension des Zentrums einer Algebra. Weiters werden Semi-Invarianten eingeführt, die speziell auf den Fall von pre-Lie- bzw. Novikov-Algebren anwendbar sind. Darüber hinaus werden neue Resultate bewiesen, welche Degenerationen unterschiedlicher Dimension in Zusammenhang setzen. Es konnte beispielsweise gezeigt werden, dass im Falle einer Degeneration zweier gegebener Algebren A nach B auch alle Faktoren A / I mit einem beliebigen Ideal I in A gegen entsprechende Faktoren der Algebra B degenerieren müssen.

Abstract

(Englisch)

In this thesis we are concerned with the orbit closure problem for algebras in algebraic transformation group theory. The general linear group Gl(V) over a field K acts on the vector space Alg(C), the space of K-algebra structures, by the change of basis. For two K-algebra structures A and B we say that B is a degeneration of A if B lies in the orbit closure of A with respect to the Zariski topology. The orbit closure problem in this form is about the classification of all degenerations of a certain algebra structure in a fixed dimension. The main result in this work is the classification of all degenerations of Novikov algebras over C in dimension three. Such algebras form a subclass of left-symmetric algebras, so called pre-Lie algebras. Approaching this we also give the complete classification of 2-dimensional pre-Lie algebras. This is surprisingly complicated. For example in dimension two there are only two non-isomorphic Lie algebras. However, we have already infinitely many 2-dimensional pre-Lie algebras. Both classifications turn out to be very extensive. To reach these goals we generalize and enlarge methods that were applied in the case of Lie algebra degenerations. For example the Cpq-invariant and semi-invariants like the dimension of the center of an algebra are of that kind. Thereby we establish semi-invariants that are characteristic for the type of pre-Lie and Novikov algebras. Furthermore we bring new results that show the relation between degenerations in different dimensions. A substantial statement in this direction is that in case of a degeneration of two given algebras, where A degenerates to B also all factors A /I formed by an arbitrary ideal I in A have to degenerate to corresponding factors of the algebra B.

Autor*innen

Thomas Benes

Haupttitel (Englisch)

Degenerations of Lie algebras and pre-Lie algebras

Paralleltitel (Deutsch)

Degenerationen von Liealgebren und pre-Liealgebren

Publikationsjahr

2011

Umfangsangabe

V, 117 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Roman Popovych ,

Willem de Graaf

Klassifikation

31 Mathematik > 31.20 Algebra: Allgemeines

AC Nummer

AC08557013

Utheses ID

13374

Studienkennzahl

UA | 091 | 405 | |

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