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Geometry and Gabor Frames
Markus Faulhuber
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Hans Georg Feichtinger
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Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved
DOI
10.25365/thesis.32753
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30056.88821.663064-3
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Abstracts

Abstract
(Deutsch)
In der zu Grunde liegenden Arbeit sollen vermutete Verbindungen zwischen Gabor Frames und geometrischen Eigenschaften von Gittern aufgezeigt werden. Das Konzept der Gabor Frames ist eine spezielle Zeit-Frequenz Darstellungsmethode und unterliegt als solche Unsch¨arferelationen. Dies bedeutet, dass das Produkt aus Signall¨ange und Bandbreite nicht beliebig klein werden kann. Das Kernstück der Gabor Darstellungsmethode ist die Kurzzeit-Fourier-Transformation, welche die Fourier-Transformation als Spezialfall abdeckt. Die zu untersuchenden Signale werden daher für gewöhnlich endliche Energie haben, sind also Elemente des Hilbertraums L^2(R^d). Durch die Verwendung von Banach-Gelfand Tripeln ist es allerdings möglich den Definitionsbereich der Kurzzeit-Fourier-Transformation zu erweitern. Die klassische Fourier-Transformation bietet keine Information darüber, zu welchen Zeitpunkten welche Frequenzen in einem Signal vorkommen. Die Kurzzeit-Fourier-Transformation versucht diese Problem zu l¨osen, indem sogenannte Fensterfunktionen verwendet werden. Auf Grund der erwähnten Unschärferelationen führt gute Konzentration im Zeitbereich, zu einer schlechteren Konzentration im Frequenzbereich. Die kanonische Wahl der Fensterfunktion fällt daher auf eine Gauss Funktion, da diese allein die Unschärferelation minimiert. Die Kurzzeit-Fourier-Transformation zu einer gegebenen Fensterfunktion liefert eine stetige Zeit-Frequenz Darstellungsmethode, nachdem L^2(R d) aber ein separabler Hilbertraum ist, sollte es eine diskrete Methode geben um ein Signal darzustellen. Darum geht es beim Konzept der Gabor Frames. Die Idee ist es ein Erzeugendensystem für L^2(R^d) zu finden, welches aus modulierten Translaten der Fensterfunktion besteht. Die Auswahl der Translate und Modulationen generiert ein Muster in der sogenannten Zeit-Frequenz Ebene R^d × R^d, ein Konzept ähnlich dem des Phasenraums aus dem Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Das Muster wird für gewöhnlich in Form eines Gitters gewählt, welches durch eine 2d × 2d Matrix dargestellt werden kann. Es ist ungeklärt, ob gute geometrische Eigenschaften des verwendeten Gitters zu guten Frames Eigenschaften führen, wie beispielsweise stabiler und schneller Rekonstruktion des Signals aus Koeffizienten, welche an den Gitterpunkten gemessen wurden. Das Problem ist bis heute noch nicht einmal für ein eindimensionales Gauss Fenster und zweidimensionale Gitter gelöst. Es wird vermutet, dass für das eindimensionale Gauss Fenster ein hexagonales Gitter die beste Wahl für ein Gabor System bieten sollte, da der ε-Träger der Ambiguitätsfunktion eine Kreisscheibe ist und eine hexagonales Gitter das ökonomischte Arrangement für Kreisscheiben bietet. Als Maß für die geometrische Güte eines Gitters werden Lösungen von Packungsproblemen verwendet und es werden Überlegungen angestellt, wie sich diese unter Hamiltonschen Deformationen verhalten.
Abstract
(Englisch)
In the underlying work we will point out conjectured connections between Gabor frames and geometric properties of lattices. The concept of Gabor frame is a certain kind of time-frequency representation method and as such underlying the uncertainty principles. This means that the product of a signal’s length and its bandwidth cannot be arbitrarily small. The heart of a Gabor representation is found in the short-time Fourier transform (STFT), which includes the Fourier transform as special case. Therefore, the signals will usually be functions of finite energy, i.e. will be elements of the Hilbert space L^2(R^d), though we will note that the setting for the STFT can be extended by using so-called Banach-Gelfand triples. The classical Fourier transform does not provide any information of the points in time at which certain frequencies occur. The STFT tries to solve this problem by using a so-called window function. Due to the uncertainty principles mentioned before, good localisation in time yields to worse localisation in frequency. The canonical window function therefore is a Gaussian function as it uniquely minimises the uncertainty principle. The STFT with respect to a given window function is a continuous timefrequency representation, however, L^2(R^d) is a separable Hilbert space and hence it suffices to find a discrete way of representing the signal. This issue is taken care of by the concept of Gabor frames. The idea is to find a generating system for L^2(R^d), consisting of translated and modulated versions of the window function. The choice of the translations and modulation creates a pattern in the so-called time-frequency plane R^d × R^d, a concept similar to the concept of phase space know from the theory of ordinary differential equations. This pattern is usually chosen to be a lattice in the time-frequency plane, which can be represented by a 2d × 2d matrix. A question still unanswered is whether good geometric properties of the underlying lattice already provide better frame properties, i.e. stable and fast reconstruction of the signal from its coefficients measured at the lattice points. This is not even clear for the 1–dimensional Gaussian function and 2–dimensional lattices yet. It is conjectured that for a 1–dimensional Gaussian window the so-called hexagonal lattice provides the best choice for a Gabor system, as the essential support of the ambiguity function, is a disc and the hexagonal lattice uniquely provides the best setting of arranging discs in 2 dimensions. We will start with some classical packing problems, which seem to be a good choice for measuring geometric properties of a lattice and will return to them at the end of this work, when we investigate Hamiltonian deformations of lattices.

Schlagwörter

Schlagwörter
(Englisch)
Gabor Frames Hamiltonian Mechanics Lattices Packing Problems Short Time Fourier Transform
Schlagwörter
(Deutsch)
Gabor Frames Gitter Hamiltonsche Mechanik Kurzzeit Fourier Transformation Packungsprobleme
Autor*innen
Markus Faulhuber
Haupttitel (Englisch)
Geometry and Gabor Frames
Paralleltitel (Deutsch)
Geometrie und gabor Frames
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
85 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Hans Georg Feichtinger
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse ,
31 Mathematik > 31.59 Geometrie: Sonstiges ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC11698192
Utheses ID
29086
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |
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