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Ricci flow and the sphere theorem
Josef Zehetbauer
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Stefan Haller
Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30436.29230.636559-1
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Abstracts

Abstract
(Deutsch)
In dieser Masterarbeit untersuchen wir den Beweis eines kürzlich erhaltenen Resultats der Differentialgeometrie: das differenzierbare Sphären Theorem. Das topologische Sphären Theorem besagt, dass jede kompakte, einfach zusammenhängende, n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g), deren Schnittkrümmungen im Intervall (1/4,1] liegen, homöomorph zur Standardsphäre S^n ist. Es wurde um 1960 von Marcel Berger und Wilhelm Klingenberg bewiesen. Ein entscheidender Schritt im Beweis besteht darin, eine geeignete untere Schranke für den Injektivitätsradius zu finden. Dies kann mithilfe von Methoden der Vergleichsgeometrie erreicht werden. Im Jahr 1956 hat John Milnor bewiesen, dass es eine glatte Mannigfaltigkeit gibt, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zu S^7 ist. Nun stellt sich die Frage, ob eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g), die die Voraussetzungen des topologischen Sphären Theorems erfüllt, sogar diffeomorph zu S^n ist. Diese Vermutung ist als differenzierbares Sphären Theorem bekannt und wurde 2007 von Simon Brendle und Richard Schoen bewiesen. Der Beweis beruht auf dem Ricci Fluss, einer Evolutionsgleichung für die Riemannsche Metrik, die von Richard Hamilton eingeführt wurde. Genauer gesagt beruht der Beweis auf Hamiltons Konvergenzkriterium für den Ricci Fluss. Man muss also verifizieren, dass die Voraussetzungen dieses Kriteriums erfüllt sind. Ein erster wichtiger Schritt in diese Richtung ist zu zeigen, dass der Ricci Fluss nichtnegative isotropische Krümmung erhält. Dieses Resultat wird dann verwendet um eine Familie von Kegeln im Vektorraum der algebraischen Krümmungstensoren zu konstruieren, hierbei fließen Ideen von Christoph Böhm und Burkhard Wilking ein. Die besonderen Eigenschaften dieser Kegel ermöglichen es dann zu zeigen, dass die Voraussetzungen des Konvergenzkriteriums erfüllt sind.

Schlagwörter

Schlagwörter
(Englisch)
metric Ricci flow convergence constant sectional curvature nonnegative isotropic curvature sphere theorem
Schlagwörter
(Deutsch)
Metrik Ricci Fluss Konvergenz konstante Schnittkrümmung Nichtnegative isotropische Krümmung Sphären Theorem
Autor*innen
Josef Zehetbauer
Haupttitel (Englisch)
Ricci flow and the sphere theorem
Paralleltitel (Deutsch)
Ricci Fluss und das Sphären Theorem
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
II, 86 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Stefan Haller
Klassifikation
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC11817813
Utheses ID
29864
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |
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