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Foundations of higher-order forcing
Carolin Antos-Kuby
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Dr.-Studium der Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Sy-David Friedman
DOI
10.25365/thesis.39945
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29324.56204.305163-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Grundlegend kann die Erzwingungsmethode durch die Größe ihrer Grundstruktur klassifiziert werden. Die heute verwendeten Formen umfassen Größen im Bereich von Mengen und definierbaren Klassen. In dieser Arbeit werden die nächsten möglichen Schritte in dieser Hierarchie entwickelt: Klassen und Hyperklassen (Objekte deren Elemente Klassen sind) in der Theorie von Morse-Kelley.
F\"ur Klassen werden die Definitionen und grundlegenden Ergebnisse der Erzwingungsmethode im Kontext von Morse-Kelley definiert und gezeigt. Insbesondere wird das Definierbarkeitslemma und Wahrheitslemma bewiesen das hier im allgemeinen f\"ur jegliche Klassenerzwingung gilt. Als Anwendung beweisen wir, dass das Theorem von Laver nicht f\"ur Klassenerzwingung gilt.
Für Hyperklassen nutzen wir die Beziehung zwischen Modellen von MK$^{**}$ und Modellen einer Variante von ZFC$^-$. Dies erlaubt uns Hyperklassenerzwingung in MK$^{**}$ zu definieren, indem wir zu einem ZFC$^-$ Modell gehen und dort definierbare Klassenerzwingung anwenden. Von der daraus ge-wonnenen Modellerweiterung können wir nun wieder zu einem Modell von MK$^{**}$ zurückgehen. Für diesen Ansatz entwickeln wir eine Kodierung zwischen Modellen von MK$^{**}$ und bestimmten Modellen von ZFC$^-$ und zeigen, dass definierbare Klassenerzwingung in diesem Kontext durchführbar ist. Ein konkretes Beispiel einer Hyperklassenerzwingung wird gegeben, indem gezeigt wird, dass jedes $\beta$-Modell von MK$^{**}$ zu einem minimalen $\beta$-Modell von MK$^{**}$ erweitert werden kann (mit den selben Ordinalzahlen).
Abstract
(Englisch)
Forcing notions can be classified via their size in a general way. Until now two different types were developed: set forcing and definable class forcing, where the forcing notion is a set or definable class respectively. Here, we want to introduce and study the next two steps in this classification by size, namely class forcing and definable hyperclass forcing (where the conditions of the forcing notion are themselves classes) in the context of (an extension of) Morse-Kelley class theory.
For class forcing, we adapt the existing account of class forcing over a ZFC model to a model $(M,\mathcal{C})$ of Morse-Kelley class theory. We give a rigorous definition of class forcing in such a model and show that the Definability Lemma (and the Truth Lemma) can be proven without restricting the notion of forcing. Furthermore we show under which conditions the axioms are preserved. We conclude by proving that Laver's Theorem does not hold for class forcings.
For definable hyperclass forcing, we use a symmetry between MK$^{**}$ models and models of ZFC$^-$ plus there exists a strongly inaccessible cardinal (called SetMK$^{**}$). This allows us to define hyperclass forcing in MK$^{**}$ by going to the related SetMK$^{**}$ model and use a definable class forcing there. We arrive at a definable class forcing extension from which we can go back to a model of MK$^{**}$. To use this construction we define a coding between MK$^{**}$ and SetMK$^{**}$ models and show how definable class forcing can be applied in the context of an ZFC$^-$ model. We conclude by giving an application of this forcing in showing that every $\beta$-model of MK$^{**}$ can be extended to a minimal $\beta$-model of MK$^{**}$ with the same ordinals.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
set theory forcing class theory
Schlagwörter
(Deutsch)
Erzwingungsmethode Klassentheorie Mengenlehre
Autor*innen
Carolin Antos-Kuby
Haupttitel (Englisch)
Foundations of higher-order forcing
Paralleltitel (Deutsch)
Grundlagen der Erzwingungsmethode höherer Ordnung
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
IX, 69 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Martin Goldstern ,
Benjamin Miller
Klassifikation
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik, Mengenlehre
AC Nummer
AC12720401
Utheses ID
35390
Studienkennzahl
UA | 791 | 405 | |