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Noncommutative approximation

smootherness, approximation and invertibility in Banach algebras

Andreas Heinrich Klotz

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Karlheinz Gröchenig

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DOI

10.25365/thesis.11354

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29561.57068.773754-1

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

In dieser Arbeit werden Matrizen beschränkter linearer Operatoren mit Abklingverhalten der Nebendiagonalen behandelt, das sind Matrizen, deren Einträge mit dem Abstand zur Diagonale betragsmäßig abfallen. Es wird untersucht, unter welchen Bedingungen Matrizen mit derartigem Abklingverhalten invers abgeschlossene Teilalgebren der Algebra beschränkter Operatoren sind, das heißt, wann die Inverse einer als Operator invertierbaren Matrix mit Abklingverhalten wieder ein gleichartiges Abklingverhalten aufweist. Derartige Fragen wurden bislang nur für gewisse Klassen von Matrizen behandelt (siehe dazu etwa die Arbeiten von Baskakov, Demko, Smith und Moss, Jaffard, oder Gröchenig und Leinert). In dieser Arbeit wird versucht, systematische Ansätze zur Behandlung des Abklingverhaltens von Matrizen zu geben, und auch die Invers- Abgeschlossenheit systematisch zu behandeln. Zwei Konstruktionen werden eingeführt: Einerseits kann das Abklingverhalten von Matrizen mit Hilfe einer Glattheitstheorie von Banachräumen beschrieben werden, andererseits kann es auch durch die Güte der Approximation durch Bandmatrizen gemessen werden. Beide Konstruktionen liefern in systematischer Weise Klassen invers abgeschlossener Teilalgebren zu einer gegebenen Banach Algebra von Matrizen, und beide Konstruktionen lassen sich sinnvoll für größere Klassen von Banach Algebren erklären. Auf die beschriebene Weise werden nicht nur bekannte Resultate über Matrizen mit Abklingverhalten wiedergewonnen, sondern auch neue invers-abgeschlossene Algebren von Matrizen mit Abklingverhalten konstruiert. Der Zusammenhang zwischen beiden Konstruktionen - Abklingverhalten der Nebendiagonalen durch Approximation beziehungsweise durch Glattheit - wird wie im Fall der klassischen trigonometrischen Approximation durch Sätze vom Jackson-BernsteinTyp vermittelt. Dies erlaubt eine konstruktive Beschreibung von Approximations- bzw. Glattheitsräumen durch Littlewood-Paley-Zerelegungen. Schließlich wird versucht, die beschriebene Theorie für Matrizen mit Abklingverhalten jenseits der polynomialen Ordnung anzuwenden. Dazu werden Analoga zu ultradifferenzierbaren Funktionen für Operatoren konstruiert. Auch hier ist es wieder möglich, die Invers-Abgeschlossenheit der entstehenden Algebren in den beschränkten Operatoren nachzuweisen, und so etwa das klassische Resultat von Demko, Smith und Moss auf allgemeinere Formen des Abklingverhaltens auszudehnen.

Autor*innen

Andreas Heinrich Klotz

Haupttitel (Englisch)

Noncommutative approximation

Hauptuntertitel (Englisch)

smootherness, approximation and invertibility in Banach algebras

Paralleltitel (Deutsch)

Nichtkommutative Approximation ; Glattheit, Approximation und Invertierbarkeit in Banachalgebren

Publikationsjahr

2010

Umfangsangabe

VI, 107 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Tomas Sauer ,

Hans Georg Feichtinger

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.41 Reelle Analysis ,

31 Mathematik > 31.47 Operatortheorie

AC Nummer

AC08316575

Utheses ID

10244

Studienkennzahl

UA | 091 | 405 | |

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