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Local solvability of pseudodifferential equations
Stefan Fürdös
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Roland Steinbauer
DOI
10.25365/thesis.11356
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29300.00747.857660-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Ein partieller Differentialoperator $P$ heißt lokal lösbar in einem Punkt $x_0$, falls es eine Umgebung $U$ gibt, sodaß
für alle Testfunktionen $f\in\D(U)$ eine Distribution $u\in\D^{\prime}(U)$ existiert, die die Gleichung $Pu=f$ in $U$ erfüllt. In Anlehnung an das Theorem von Cauchy-Kowalewskaya wurde lange vermutet, daß jeder partielle Differentialoperator mit glatten Koeffizienten lokal lösbar ist. Diese Vermutung wurde allerdings von Hans Lewy im Jahre 1957 faktisch widerlegt, als er zur allgemeinen Überraschung zeigte, daß es eine glatte Funktion $F$ auf $\R^3$ gibt sodaß die Gleichung
\begin{equation*}
-\dfrac{\partial u}{\partial x}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}+2i(x+iy)\dfrac{\partial u}{\partial t}=F
\end{equation*}
auf keiner offenen Teilmenge des $\R^3$ eine stetig differenzierbare Lösung $u$ mit Hölder stetigen partiellen Ableitungen zuläßt.
Im Jahr 1960 gelang es Lars Hörmander eine notwendige Bedingung für die lokale Lösbarkeit eines partiellen Differentialoperators mit glatten Koeffizienten zu formulieren und zu beweisen: es handelt sich um eine einfach zu überprüfende, geometrische Bedingung an das Hauptsymbol des Operators. Einige Jahre später, gelang es Lars Hörmander dieses Resultat auf Pseudodifferentialoperatoren zu verallgemeinern.
Diese Diplomarbeit stellt die oben genannten Resultate ausführlich dar. Nach einer vollständigen Diskussion des Lewy-Operator und des Mizohata-Operators -- eines weiteren Beispiels eines nicht lokal lösbaren Operators -- geben wir einen vollständigen Beweis für Hörmanders notwendige Bedingung für die lokale Lösbarkeit von Pseudodifferentialoperatoren.
Abstract
(Englisch)
A linear partial differential operator $P(x,D)$ with smooth coefficients on an open subset $\Omega$ of $\R^n$ (or a manifold) is said to be locally solvable at a point $x_0$ if there is an open neighbourhood $U$ of $x_0$ such that for any test function $f\in\D (U)$ there is a distribution $u\in\D^{\prime} (U)$ which satisfies the equation $Pu=f$ on $U$. In view of the Theorem of Cauchy-Kowalewskaya it had been taken for granted that any PDO with smooth coefficients is locally solvable. But in 1957 Hans Lewy surprised the mathematical community by showing that there is a smooth function $F$ on $\R^3$ such that the equation
\begin{equation*}
-\dfrac{\partial u}{\partial x}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}+2i(x+iy)\dfrac{\partial u}{\partial t}=F
\end{equation*}
has no $\CC^1$-solution with Hölder continuous first derivatives on any open subset of $\R^3$.
Wanting to describe the property of local solvability by a geometric condition, Lars H\"ormander proved a necessary condition for local solvability of a linear PDO in 1960. Later he generalized this condition to a necessary condition for local solvability of pseudodifferential operators.
In this thesis we provide a self-contained presentation of these results. More precisely we start with a discussion of the Lewy example mentioned above and give a proof of Lewy's original result. Then we turn to discuss the Mizohata operator which provides another example of a non local solvable operator. Finally we present a full proof of Hörmander's necessary condition for pseudodifferential operators.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
local solvability partial differential equation necessary condition pseudodifferential operator Lewy-Operator
Schlagwörter
(Deutsch)
lokale Lösbarkeit partielle Differentialgleichung notwendige Bedingung Pseudodifferentialoperator Lewy-Operator
Autor*innen
Stefan Fürdös
Haupttitel (Englisch)
Local solvability of pseudodifferential equations
Paralleltitel (Deutsch)
Lokale Lösbarkeit von Pseudodifferentialgleichungen
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
III, 69 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Roland Steinbauer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC08316609
Utheses ID
10246
Studienkennzahl
UA | 405 | | |