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Causal structure and singularity theory on space-times
Christian Haderer
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.11584
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30202.23550.986854-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Modelle von Raumzeiten durch abstrakte Lorentzmannigfaltigkeiten modelliert. Es stellt sich heraus, dass eine große Anzahl der wichtigsten Raumzeiten geodätisch unvollständig ist. Wir werden in dieser Arbeit die wichtigsten Existenztheoreme von geodätisch unvollständigen Raumzeiten formulieren und beweisen. Dabei werden wir die zu Grunde liegende kausale Struktur mitentwickeln. In den ersten Kapiteln definieren wir den Begriff der mathematischen Raumzeit und stellen die notwendigen Werkzeuge bereit um den Jacobi-Tensorkalkül zu formulieren, der es uns ermöglicht Aussagen über Energiebedingungen auf Raumzeiten zu treffen. In den späteren Kapiteln werden wir den Begriff der Achronalität bzw. der Akausalität einführen und beweisen, dass jeder Rand einer Zukunftsmenge eine abgeschlossene achronale topologische Hyperfläche ist. Das Konzept von achronalen Mengen führt uns notwendigerweise zu den Cauchy Entwicklungen. Wir werden zeigen, dass das Innere einer Cauchy Entwicklung stets eine global hyperbolische Raumzeit modelliert, sofern die zu Grunde liegende Menge achronal ist. Mit diesen Vorbereitungen werden wir ein erstes starkes Resultat in der Singularitätentheorie beweisen können. Mit großem Aufwand werden wir die Existenz von stückweise glatten zukunfts-nichterweiterbaren zeitartigen Kurven zeigen, die vollständig in der Zukunfts-Cauchy-Entwicklung des so genannten Zukunfts-Horismos liegen. Dieses fundamentale Resultat wird ausreichen um das berühmte Lemma von Hawking und Penrose zu beweisen, welches in der Literatur bereits häufig als Singularitätensatz angesehen wird. Ein bekanntes Resultat im Variationskalkül liefert den Beweis des stärksten Singularitätentheorems - des Singularitätensatzes von Hawking und Penrose. Im nächsten Kapitel werden wir so genannte Cauchy Hyperflächen verwenden um die globale Hyperbolizität von Raumzeiten zu erzwingen. Dieses Resultat führt uns auf einen eleganten Beweis des Singularitätensatzes von Penrose. Im letzten Kapitel analysieren wir die gemeinsame Grundlage der zentralen Resultate in der Singularitätentheorie.
Abstract
(Englisch)
A large number of the more important Lorentzian manifolds that are used as models in general relativity fail to be geodesically complete. Our aim is to use these so called space-times to establish theorems which prove geodesical incompleteness and to develop the underlying causal structure. We first will establish the necessary tools to formulate the Jacobian tensor calculus which will be used to prove basic energy conditions. In the subsequent chapters we will introduce achronal and acausal sets and prove that every boundary of a future-set is an achronal closed topological hypersurface. The concept of achronality will directly lead us to Cauchy developments. We will show that the interior of the Cauchy development is a globally hyperbolic space-time, as long as the underlying subset is achronal. With these tools we will be able to formulate a basic singularity theorem, which will be used to prove further strong results. We will also show the existence of piecewise smooth future-inextendible timelike curves that are contained in the future Cauchy development of the future-horismos. This fundamental result will allow us to prove the famous Lemma of Hawking and Penrose, which may already be viewed as a singularity theorem. A famous result in the calculus of variations provides the necessary tool to formulate the final and strongest version of the singularity theorem of Hawking and Penrose. In the next section we will use Cauchy hypersurfaces to secure the global hyperbolicity of space-times. This result provides an elegant proof of the singularity theorem of Penrose. We will finish this thesis by uncovering the underlying similarities of the given results.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Singularity Theory Causal Structure
Schlagwörter
(Deutsch)
Singularitätentheorie Kausale Struktur
Autor*innen
Christian Haderer
Haupttitel (Englisch)
Causal structure and singularity theory on space-times
Paralleltitel (Deutsch)
Kausalstruktur und Singularitätentheorie auf Raumzeiten
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
148 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
AC Nummer
AC08317859
Utheses ID
10454
Studienkennzahl
UA | 405 | | |