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Symmetry methods in the atmospheric sciences
Alexander Bihlo
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Geowissenschaften, Geographie und Astronomie
Betreuer*in
Michael Hantel
DOI
10.25365/thesis.12087
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30304.68318.348759-0
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Zahlreiche Symmetriemethoden werden auf Differentialgleichungen der Atmosphärendynamik angewandt. Die Lie-Punktsymmetrien der barotropen Vorticitygleichung, der barotropen potentiellen Vorticitygleichung und des baroklinen Zweischichtmodels werden berechnet. Ein- und zweidimensionale inäquivalente Subalgebren der jeweiligen maximalen Lie-Invarianzalgebren werden klassifiziert und dazu verwendet, exakte Lösungen der jeweiligen Gleichungen zu bestimmen. Die physikalische Bedeutung dieser Lösungen wird untersucht und diskutiert. Mittels der Symmetrien der barotropen potentiellen Vorticitygleichung auf der beta-Ebene und der barotropen Vorticitygleichung auf der rotierenden Kugel können Punkttransformationen gefunden werden, die beide Gleichungen in die jeweiligen Gleichungen im Inertialsystem transformieren. Zwei erweiterte Techniken zur Berechnung der gesamten Punktsymmetriegruppe von Differentialgleichungen werden vorgestellt, die im Rahmen der direkten Methode angewandt werden können. Die erste Technik basiert auf der Invarianz von Megaidealen der maximalen Lie-Invarianzalgebra unter von Punktsymmetrien erzeugten Automorphismen. Die zweite Technik verwendet Kenntnisse über admissible transformations von Klassen von Differentialgleichungen, die die untersuchte Gleichung enthalten. Weiters wird gezeigt wie Symmetrien dazu verwendet werden können, Schließungen im Zuge des Parameterisierungsproblems zu definieren. Für diesen Zweck werden Verfahren der direkten und inversen Gruppenklassifikation benützt. Als Beispiel werden verschiedene Parameterisierungen für den Eddy-Vorticityfluß in der Reynolds-gemittelten Vorticitygleichung konstruiert, die unterschiedliche Symmetrieeigenschaften besitzen. In einem weiteren Schritt werden die Symmetrien der barotropen Vorticitygleichung und der Saltzman'schen Konvektionsgleichungen dazu verwendet um spektrale, niedrigdimensionale Approximationen dieser Gleichungen zu erzeugen. Dazu werden Lie-Punkt- und diskrete Symmetrien als Kriterium zur Auswahl der Fouriermoden verwendet. Es wird bewiesen dass das Lorenz--1960 Modell systematisch unter Zuhilfenahme der Punktsymmetrien der Vorticitygleichung ableitbar ist. Auf ähnliche Weise wird demonstriert dass die Wahl der Moden des Lorenz--1963 Modells der thermischen Konvektion nicht mittels Symmetrien begründbar ist. Zudem wird gezeigt dass sowohl die Hamiltonsche als auch die Nambu Form des Lorenz--1963 Modells nicht mit der entsprechenden Hamiltonschen bzw. Nambu-Darstellung der Saltzman'schen Konvektionsgleichungen zusammenhängen. Aus diesem Grund wird ein sechskomponentiges Modell der Konvektionsgleichungen abgeleitet. Die Modenwahl dieses neuen Modells basiert vollständig auf Punktsymmetrien der Saltzman'schen Gleichungen. Durch geeignetes Skalieren dieser Moden ist es möglich eine Hamiltonsche bwz. Nambu-Darstellung dieses sechskomponentigen Modells zu finden, die der Hamilton- bzw. Nambuformulierung der kontinuierlichen Konvektionsgleichungen vollständig analog ist.
Abstract
(Englisch)
Wide ranges of symmetry methods are applied to several differential equations arising in the atmospheric sciences. Lie point symmetries of the barotropic vorticity equation, the barotropic potential vorticity equation and the two-layer baroclinic model are computed. One- and two-dimensional inequivalent subalgebras of the respective maximal Lie invariance algebras are classified. Based on this classification, we determine various group-invariant solutions of the investigated differential equations. The physical relevance of these particular solutions is evaluated. Symmetries are used to find point transformations that map the barotropic potential vorticity equation on the beta-plane and the barotropic vorticity equation on the rotating sphere to the respective equations in the inertial frame. Two refined techniques for the computation of the complete point symmetry group of differential equations are proposed within the framework of the direct method. The first technique is based on the invariance of megaideals of the maximal Lie invariance algebra under automorphisms generated by point symmetries. The second technique involves knowledge on the admissible transformations of classes of differential equations containing the given equation. It is shown how symmetries can be employed to determine closure schemes in the course of the parameterization problem. The methods we apply rest on techniques of direct and inverse group classifications. These methods are exemplified by parameterizing the eddy vorticity flux in the Reynolds averaged vorticity equation. This leads to several invariant parameterization schemes possessing different degrees of symmetry. The symmetries of the barotropic vorticity equation and the Saltzman convection equations are used to derive spectral finite-mode approximations. This is done using both Lie and discrete point symmetries as a criterion for the selection of Fourier modes. It is proved that the Lorenz--1960 model can be systematically re-derived with the aid of point symmetries of the vorticity equation. In a similar manner, it is demonstrated that the selection of modes for the Lorenz--1963 convection model is not compatible with the symmetries of the Saltzman equations. It is shown that the Hamiltonian and Nambu structures of the Lorenz--1963 model are not related to the Hamiltonian and Nambu forms of the Saltzman convection equations. A new six-component truncation of the convection equation is proposed. The selection of modes for this model is based on point symmetries of the convection equations. These modes are suitably scaled to allow the six-component model to be of Hamiltonian and Nambu forms analog to those of the original Saltzman equations.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Lie symmetries exact solutions parameterization schemes Hamiltonian mechanics finite-mode models
Schlagwörter
(Deutsch)
Lie Symmetrien exakte Lösungen Parameterisierungsschemata Hamiltonmechanik niedrigdimensionale Modelle
Autor*innen
Alexander Bihlo
Haupttitel (Englisch)
Symmetry methods in the atmospheric sciences
Paralleltitel (Deutsch)
Symmetriemethoden in den Atmosphärenwissenschaften
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
VI, 157 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Anatolii Nikitin ,
Georgy Burde
AC Nummer
AC08494893
Utheses ID
10896
Studienkennzahl
UA | 091 | 415 | |