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Almost local metrics on shape space
Martin Bauer
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Peter Michor
DOI
10.25365/thesis.12211
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30362.65068.782466-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In vielen Bereiche der Wissenschaft, Technik und Medizin ist es notwendig zwischen verschiedenen geometrischen Figuren zu unterscheiden. Daher ist es sehr wichtig signifikante Metriken f\"ur den Raum aller Figuren zu bestimmen. Wir modellieren Figuren als immersive unparametrisierte Untermannigfaltigkeiten.
In dieser Arbeit betrachten wir Riemannsche Metriken auf dem Raum der Figuren die von Metriken auf der Mannigfaltigkeit der Immersionen induziert werden. Diese Metriken werden auch als innere Metriken bezeichnet. Ungl{\"u}chierweise induziert die einfachste und nat{\"u}rlichste solche Metrik verschwinde geod{\"a}tische Distanz am Raum aller Figuren. Diese Entdeckung von Michor und Mumford war der Startpunkt der Suche nach
st{\"a}rkeren aussagekr{\"a}ftigen Metriken.
In dieser Arbeit betrachten wir eine bestimmten Klasse innerer Metriken auf
Figurenr{\"a}ume beliebiger Dimension. Wir berechnen die Geod{\"a}tengleichung und die Schnittkr{\"u}mmung,
zeigen dass sie positive geoda{\"a}tische Distanz induzieren und vergleichen sie mit der Fr\'echet Distanz.
Im letzten Teil studieren wir das Verhalten dieser Metriken anhand verschiedener numerischer Experimente.
Abstract
(Englisch)
Many procedures in science, engineering, and medicine produce data in the form of shapes. Thus it of utmost importance to define metrics on this spaces.
It came as a big surprise when Michor and Mumford found out in 2004 that the simplest Riemannian metric induces vanishing geodesic distance on shape space. This was the starting point to a quest for stronger Riemannian metrics that should be able to distinguish salient features of shapes. A lot of work has been done for planar curves. In particular, almost local metrics on shape space of planar curves have been introduced.
In this thesis almost local metrics are generalized to shape space of surfaces in arbitrary dimension.
For these metrics the geodesic equation and the conserved quantities arising from symmetries are calculated, and it is proven that the induced geodesic distance does not vanish. The last part contains numerical experiments which illustrate the behaviour of the metrics.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
shape space riemannian metric almost local metric sectional curvature frechet distance immersed surface embedding
Schlagwörter
(Deutsch)
Figuren Raum Riemannsche Metrik Fast lokale Metrik Schnittkruemmung Frechetdistanz Immersion Einbettung
Autor*innen
Martin Bauer
Haupttitel (Englisch)
Almost local metrics on shape space
Paralleltitel (Deutsch)
Fast lokale Metriken auf Figurenräumen
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
XII, 105 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Otmar Scherzer ,
David Mumford
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie ,
31 Mathematik > 31.55 Globale Analysis
AC Nummer
AC08345653
Utheses ID
11007
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |