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Critical phenomena and dynamical phase transitions in Boolean networks
Lukas Geyrhofer
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Betreuer*in
Karl Kürten
DOI
10.25365/thesis.12353
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29101.09463.345670-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Boole’sche Netzwerke werden als hoch nicht-lineare dynamische Modelle in der
Biologie, Soziologie und Wirtschaftwissenschaften verwendet. Schon bei der
Einfuhrung als genetische Regelnetzwerke in den späten 1960ern durch Stuart
Kauffman wurden zwei Phasen in der Dynamik unterschieden: eine geordnete
Phase, wo mögliche Störungen rasch verschwinden, und die ungeordnete Phase,
wo sich anfänglich kleine Störungen auf das ganze Netzwerk ausbreiten können.
In den 1980ern fuhrten statistische Uberlegungen von Bernard Derrida und
Kollegen zu einigen analytischen Ergebnissen fur das dynamische Verhalten
dieser Netzwerke, im Speziellen wurde eine statistische Charakterisierung
der Kritischen Bedingung fur den Phasenubergang abgeleitet. In dieser Arbeit
wurden einige neuere Ergebnisse und Entwicklungen gesammelt und formal
präsentiert, wobei ein Hauptaugenmerk auf die Kritische Bedingung gelegt wurde.
Diese ist für viele Netzwerke in der Natur von Bedeutung, da deren Dynamik oft
in der Nähe des Phasenübergangs liegt. Die Ableitung der gekoppelten
Iterationsgleichungen für die beiden makroskopischen Parameter Magnetisierung
und Hammingdistanz wird erklärt für beliebige Mischungen von Boole’schen
Funktionen und Verteilungen von Verknupfungsgraden. Aus diesen
Iterationsgleichungen wird die Kritische Bedingung berechnet, und gezeigt,
dass diese nur von der gemittelten “Empfindlichkeit“ der Verteilung der
Funktionen abhängt. Weiters wird gezeigt, dass das Verwenden von ”Höheren
Empfindlichkeiten” in der Iterationsgleichung der Hammingdistanz aquivalent
ist zu einer Beschränkung der Magnetisierung, die aber nicht uber die Zeit
aufrecht erhalten werden kann, und daher einen falschen Fixpunkt in der
Hammingdistanz voraussagt.
Im zweiten Teil der Arbeit wird dieser Formalismus auf Lineare
Schwellwertfunktionen angewendet. Lineare Schwellwertfunktionen sind eine
kleine Untermenge aller möglichen Boole’schen Funktionen und eine explizite
Projektionsgleichung auf diese allgemeinen Funktionen ist in dieser Arbeit
angegeben. Fur verschiedene Boole’sche Netzwerke wurden Phasendiagramme
berechnet, wobei zwei verschiedene Parameter verwendet wurden, der Schwellwert
h und die Asymmetrie p in der Verteilung der Gewichte, was ein zusätzlicher
Parameter im Vergleich mit einigen früheren Arbeiten ist. Zum Schluss wird
bewiesen, dass fur eine einfache Mischung aus Linearen Schwellwertfunktionen
der Parameterbereich der geordnete Phase mit steigender Konnektivität K
wächst, und der Parameterbereich der ungeordnete Phase auf einen einzigen
Wert zusammenschrumpft im Grenzübergang K gegen unendlich. Dieses Verhalten
ist konträr zum Kauffman-Modell, wo das gegenteilige Verhalten
beobachtet wird: der Parameterbereich der ungeordneten Phase nimmt das ganze
Intervall im Grenzübergang K gegen unendlich ein. Das ist ein interessantes
Ergebnis, weil biologische Netzwerke normalerweise eine höhere Verknupfungsrate
als den kritischen Wert Kc = 2 im ursprunglichen Kauffman-Modell haben, so
dass eine realistischere Topologie für das Boole’sche Netzwerk verwendet werden
kann. In diesen realistischeren Topologien können dann auch höhere
Verknüpfungsraten auftreten, ohne Extremwerte der Modellparameter annehmen
zu müssen.
Boole’sche Netzwerke werden als hoch nicht-lineare dynamische Modelle in der
Biologie, Soziologie und Wirtschaftwissenschaften verwendet. Schon bei der
Einfuhrung als genetische Regelnetzwerke in den späten 1960ern durch Stuart
Kauffman wurden zwei Phasen in der Dynamik unterschieden: eine geordnete
Phase, wo mögliche Störungen rasch verschwinden, und die ungeordnete Phase,
wo sich anfänglich kleine Störungen auf das ganze Netzwerk ausbreiten können.
In den 1980ern fuhrten statistische Uberlegungen von Bernard Derrida und
Kollegen zu einigen analytischen Ergebnissen fur das dynamische Verhalten
dieser Netzwerke, im Speziellen wurde eine statistische Charakterisierung
der Kritischen Bedingung fur den Phasenubergang abgeleitet. In dieser Arbeit
wurden einige neuere Ergebnisse und Entwicklungen gesammelt und formal
präsentiert, wobei ein Hauptaugenmerk auf die Kritische Bedingung gelegt wurde.
Diese ist für viele Netzwerke in der Natur von Bedeutung, da deren Dynamik oft
in der Nähe des Phasenübergangs liegt. Die Ableitung der gekoppelten
Iterationsgleichungen für die beiden makroskopischen Parameter Magnetisierung
und Hammingdistanz wird erklärt für beliebige Mischungen von Boole’schen
Funktionen und Verteilungen von Verknupfungsgraden. Aus diesen
Iterationsgleichungen wird die Kritische Bedingung berechnet, und gezeigt,
dass diese nur von der gemittelten “Empfindlichkeit“ der Verteilung der
Funktionen abhängt. Weiters wird gezeigt, dass das Verwenden von ”Höheren
Empfindlichkeiten” in der Iterationsgleichung der Hammingdistanz aquivalent
ist zu einer Beschränkung der Magnetisierung, die aber nicht uber die Zeit
aufrecht erhalten werden kann, und daher einen falschen Fixpunkt in der
Hammingdistanz voraussagt.
Im zweiten Teil der Arbeit wird dieser Formalismus auf Lineare
Schwellwertfunktionen angewendet. Lineare Schwellwertfunktionen sind eine
kleine Untermenge aller möglichen Boole’schen Funktionen und eine explizite
Projektionsgleichung auf diese allgemeinen Funktionen ist in dieser Arbeit
angegeben. Fur verschiedene Boole’sche Netzwerke wurden Phasendiagramme
berechnet, wobei zwei verschiedene Parameter verwendet wurden, der Schwellwert
h und die Asymmetrie p in der Verteilung der Gewichte, was ein zusätzlicher
Parameter im Vergleich mit einigen früheren Arbeiten ist. Zum Schluss wird
bewiesen, dass fur eine einfache Mischung aus Linearen Schwellwertfunktionen
der Parameterbereich der geordnete Phase mit steigender Konnektivität K
wächst, und der Parameterbereich der ungeordnete Phase auf einen einzigen
Wert zusammenschrumpft im Grenzübergang K gegen unendlich. Dieses Verhalten
ist konträr zum Kauffman-Modell, wo das gegenteilige Verhalten
beobachtet wird: der Parameterbereich der ungeordneten Phase nimmt das ganze
Intervall im Grenzübergang K gegen unendlich ein. Das ist ein interessantes
Ergebnis, weil biologische Netzwerke normalerweise eine höhere Verknupfungsrate
als den kritischen Wert Kc = 2 im ursprunglichen Kauffman-Modell haben, so
dass eine realistischere Topologie für das Boole’sche Netzwerk verwendet werden
kann. In diesen realistischeren Topologien können dann auch höhere
Verknüpfungsraten auftreten, ohne Extremwerte der Modellparameter annehmen
zu müssen.
Abstract
(Englisch)
Boolean Networks have been used as highly non-linear dynamical models in
biology, sociology and economics. Together with the introduction as gene
regulatory networks in the late 1960s, Stuart Kauffman established two different
phases of the dynamics in Boolean Networks: the ordered phase, where eventual
perturbations vanish rather quickly, and the disordered phase, where a small
perturbation might spread over the whole network. In the 1980s statistical
considerations by Bernard Derrida and coworkers yielded analytical results for
the dynamical behavior of those networks, especially a statistical
characterization of the critical condition for this phase transition was
obtained. In this work, recent developments have been compiled and presented in
a rather formal way, with special emphasis on this critical condition, which is
important, because many networks in nature are believed to be close to this
dynamical phase transition. An approach for the derivation of coupled iteration
equations of the macroscopic parameters magnetization and Hamming distance is
explained for arbitrary mixtures of Boolean functions and distribution of
in-degrees. From these iteration equations the critical condition is derived,
showing that this condition only depends on the average sensitivity of the
mixture of Boolean functions. Furthermore, the equivalence of using higher
sensitivities in the construction of the polynomial for the Hamming distance is
established to be a restriction to the magnetization, which cannot be maintained
over time, and therefore fails to predict the fixed point in the Hamming
distance observed in computer simulations.
In the second part of this work, this formalism has been applied to Linear
Threshold functions. They are a subclass of all possible Boolean functions and
an explicit projection to Boolean functions is given. Complete phase diagrams
have been calculated for several different Boolean Networks with all functions
being Linear Threshold functions, where an two parameters have been included,
the threshold $h$ and the asymmetry $p$ in the distribution of weights, which is
an additional degree of freedom compared to several earlier publications.
Finally, it has been proven for a simple mixture of Linear Threshold functions,
that the parameter region corresponding to the ordered phase actually grows with
increased connectivity $K$, and the parameter region of the disordered phase
shrinks to a single value in the limit $K\rightarrow\infty$. This is contrary to
the Kauffman model, where the opposite behavior is observed: the parameter
region of the disordered phase spans the complete interval in the limit
$K\rightarrow\infty$. This is an interesting result, because biological networks
usually have a connectivity larger than the critical value $K_c=2$ in the
(unbiased) Kauffman model, so that a more realistic topology could be imposed on
the BN, where also nodes with a higher in-degree occur, without being restricted
to extreme values of the external parameters.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Boolean Networks phase transition critical condition Linear Threshold functions
Schlagwörter
(Deutsch)
Boole'sche Netzwerke Phasenübergänge Kritische Bedingung Lineare Schwellwertfunktionen
Autor*innen
Lukas Geyrhofer
Haupttitel (Englisch)
Critical phenomena and dynamical phase transitions in Boolean networks
Paralleltitel (Deutsch)
Kritische Phänomene und Dynamische Phasenübergänge in Boole'schen Netzwerken
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
VIII, 124 S. : Ill.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Karl Kürten
Klassifikation
33 Physik > 33.20 Moderne Physik: Allgemeines
AC Nummer
AC08408898
Utheses ID
11134
Studienkennzahl
UA | 411 | | |