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Sobolev metrics on shape space of surfaces
Philipp Harms
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Peter Michor
DOI
10.25365/thesis.12875
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30091.75113.580053-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Geometrische Figuren spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Wissenschaft, Technik und
Medizin. Mathematisch kann eine Figur als unparametrisierte, immersive Teil-Mannigfaltigkeit
modelliert werden, was auch der dieser Arbeit zugrunde liegende Figurenbegriff ist. Wenn der Raum
der Figuren mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet wird, eröffnet sich die Welt der Riemannschen
Differential-Geometrie mit Geodäten, Gradienten-Flüssen und Krümmung. Leider induziert die
einfachste solche Metrik verschwindende Kurvenlängen-Distanz am Raum der Figuren. Diese
Entdeckung von Michor und Mumford war der Ausgangspunkt für die Suche nach stärkeren Metriken,
die es ermöglichen sollten, Figuren anhand von für die jeweilige Anwendung wichtigen Merkmalen zu
unterscheiden. Sobolev-Metriken sind ein vielversprechender Ansatz dazu. Es gibt sie in zwei
Varianten: Sogenannte äußere Metriken, die von Metriken auf der Diffeomorphismen-Gruppe des
umgebenden Raums induziert werden, und innere Metriken, die intrinsisch zur Figur definiert sind. In
dieser Arbeit werden innere Sobolev-Metriken in einem sehr allgemeinen Rahmen entwickelt und
präsentiert. Es gibt keine Einschränkung auf die Dimension des eingebetteten oder umgebenden
Raums, und der umgebende Raum muss nicht flach sein. Es wird gezeigt, dass die
Kurvenlängen-Distanz von inneren Sobolev Metriken am Raum der Figuren nicht verschwindet. Die
Geodätengleichung und die durch Symmetrien erzeugten Erhaltungsgrößen werden hergeleitet, und
die Wohldefiniertheit der Geodätengleichung wird gezeigt. Beispiele von numerischen Lösungen der
Geodätengleichung schließen die Arbeit ab.
Abstract
(Englisch)
Many procedures in science, engineering and medicine produce data in the form of geometric shapes.
Mathematically, a shape can be modeled as an un-parameterized immersed sub-manifold, which is the
notion of shape used here. Endowing shape space with a Riemannian metric opens up the world of
Riemannian differential geometry with geodesics, gradient flows and curvature. Unfortunately, the
simplest such metric induces vanishing path-length distance on shape space. This discovery by Michor
and Mumford was the starting point to a quest for stronger, meaningful metrics that should be able to
distinguish salient features of the shapes. Sobolev metrics are a very promising approach to that. They
come in two flavors: Outer metrics which are induced from metrics on the diffeomorphism group of
ambient space, and inner metrics which are defined intrinsically to the shape. In this work, Sobolev
inner metrics are developed and treated in a very general setting. There are no restrictions on the
dimension of the immersed space or of the ambient space, and ambient space is not required to be
flat. It is shown that the path-length distance induced by Sobolev inner metrics does not vanish. The
geodesic equation and the conserved quantities arising from the symmetries are calculated, and
well-posedness of the geodesic equation is proven. Finally examples of numerical solutions to the
geodesic equation are presented.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
shape space surface immersion embedding Riemannian metric Sobolev metric geodesic equation well-posedness covariant derivative Laplacian
Schlagwörter
(Deutsch)
Figurenraum Fläche Immersion Einbettung Riemannsche Metrik Sobolev Metrik Geodätengleichung wohldefiniert covariante Ableitung Laplace Operator
Autor*innen
Philipp Harms
Haupttitel (Englisch)
Sobolev metrics on shape space of surfaces
Paralleltitel (Deutsch)
Sobolev Metriken auf Räumen von Flächen
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
XII, 88 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Alain Trouvé ,
David Mumford
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie ,
31 Mathematik > 31.55 Globale Analysis
AC Nummer
AC08405125
Utheses ID
11591
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |