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Mimicking stochastic processes
martingales & marginals
Friedrich Penkner
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Mathias Beiglböck
DOI
10.25365/thesis.12876
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30350.22566.545059-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Besonders in den letzten 15 Jahren hat das Interesse an \emph{Mimicking} von stochastischen Prozessen immens zugenommen, vor allem im Bereich Finanzmathematik. \emph{Mimicking} bedeutet im Wesentlichen, für einen gegebenen stochastischen Prozess $X$ einen anderen Prozess $\wtilde{X}$ zu finden, der in allen eindimensionalen Randverteilungen gleich dem ursprünglichen Prozess ist. In der Finanzmathematik ist das nicht zuletzt deswegen von Interesse, da die Familie der eindimensionalen Randverteilungen des Preis-Prozesses einer Aktie eineindeutig der Menge aller Preise einer European call option auf diese Aktie entspricht. Ist der Mimicking-Prozess Markov, bezeichnet man ihn als Markov-Projektion des ursprünglichen Prozesses.
In Kapitel 1 wird ein kurzer Abriss der stochastischen Analysis gegeben, vor allem der Theorie der Martingale, Markovprozesse und stochastischen Differentialgleichungen.
Kapitel 2 beschäftigt sich mit Mimicking-Resultaten zur Brownschen Bewegung, dem wichtigsten stetigen stochastischen Prozess mit kontinuierlichem Zustandsraum. Es werden verschiedene Konstruktionen von \textit{fake Brownian motions} vorgestellt, die stetige wie auch nichtstetige Prozesse liefern. Schließlich wird die Brownsche Bewegung als eindeutiges, stetiges, starkes Markov-Martingal charakterisiert, das die entsprechenden Randverteilungen aufweist.
In Kapitel 3 werden Mimicking Resultate zu Martingalen und Ito-Prozessen im Allgemeinen diskutiert. Sowohl für reellwertige Martingale als auch für $k$-dimensionale Ito-Prozesse beschreiben wir schließlich jeweils eine Klasse von Prozessen für die die Markov-Projektion wohldefiniert ist.
Abstract
(Englisch)
The problem of mimicking stochastic processes has become popular over the last 15 years, pre-eminently in the context of mathematical finance. \emph{Mimicking} here roughly means: given a stochastic process $X$, find another process $\wtilde{X}$ which is equal to the original process in all one dimensional marginals. In math-finance this is of particular interest since there is a one-to-one correspondence between the 1-d marginals of an asset price process and the prices of European call options on this asset. If the mimicking process is constructed as a Markov process, the procedure is called \emph{Markovian projection}.
In Chapter 1 we give a brief summary of stochastic calculus, including martingale and Markov theory and some theory of stochastic differential equations.
Chapter 2 is concerned with mimicking the most important continuous time process with continuous state space: Brownian motion. We discuss several constructions of fake Brownian motions, continuous and discontinuous ones. Furthermore, we characterize (linear) Brownian motion as the unique continuous strong Markov martingale having Brownian marginals.
Chapter 3 enlarges the scope of processes to be mimicked to real valued martingales and k-dimensional Ito-processes. Both in the case of real valued martingales and in the case of k-dimensional Ito-processes, we identify the classes of processes for which the Markovian projection is well defined.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
stochastic processes markov processes markovian projection mimicking martingales onedimensional marginals
Schlagwörter
(Deutsch)
Stochastische Prozesse Markov Prozesse Markov Projektion Mimicking Martingale eindimensionale Randverteilungen
Autor*innen
Friedrich Penkner
Haupttitel (Englisch)
Mimicking stochastic processes
Hauptuntertitel (Englisch)
martingales & marginals
Paralleltitel (Deutsch)
Mimicking von stochastischen Prozessen -- Martingale und 1-d Randverteilungen
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
IV, 109 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Mathias Beiglböck
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC08345699
Utheses ID
11592
Studienkennzahl
UA | 405 | | |