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On units of central division algebras over algebraic number fields
Sophie Koch
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Joachim Schwermer
DOI
10.25365/thesis.13258
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29194.80538.217553-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Der erste Teil meiner Diplomarbeit beschäftigt sich mit algebraischen Zahlkörpern. Um mehr über den Zahlkörper zu erfahren, betrachtet man seine Vervollständigungen bezüglich seiner inäquivalenten Bewertungen gleichzeitig. Die geeignete Methode hierfür sind die Adele und Idele. Man kann den Körper kanonisch als diskreten Unterring der Adele auffassen und erhält des weiteren, dass die Adele modulo dem Körper kompakt sind. Ebenso kann man die Einheiten des Körpers als Unterring der Idele auffassen. Damit kann man beweisen, dass die Norm eins Idele modulo der Einheitengruppe des Körpers kompakt sind. Daraus lässt sich der Dirichletsche Einheitensatz sowie die Endlichkeit der Klassenzahl folgern.
Im zweiten Teil werden die Ideen des ersten Teiles auf den Fall von endlich dimensionalen Algebren übertragen. Wie im Fall des Zahlkörpers erhält man, dass die Adele modulo der Algebra kompakt sind. Im Fall der Gruppe der Idele muss man sich auf Divisionsalgebren beschränken. Wiederum erhält man, dass die Idele mit Norm eins modulo der Einheitengruppe der Divisionsalgebra kompakt sind. Damit lässt sich eine Verallgemeinerung des Dirichletschen Einheitensatzes beweisen, nämlich dass die Einheitengruppe einer Ordnung einer Divisionsalgebra endlich erzeugt ist.
Abstract
(Englisch)
In the first part of my thesis I study algebraic number fields. To do so I introduce valuations and completions. The aim is to find out more about an algebraic number field by studying its completions simultaneously. The natural language to deal with the completions is that of adeles and ideles. There is an embedding of the field into the ring of adeles and one can show, that the ring of adeles modulo this field is compact. When studying the unit group of the adeles, which is the group of ideles, one can prove something similar. In fact one shows that the group of norm one ideles modulo the field is compact. This leads to a proof of Dirichlets Unit Theorem and one can show the finiteness of the class number, which are both important results in algebraic number theory.
The second part of my thesis generalizes the methodological approach introduced in the first part. As in the case of a field, one has that the adele ring of an algebra modulo the algebra itself is compact. When turning our attention to the group of ideles, one has to restrict to the case of a division algebra. One can define the norm one ideles and show that the group of norm one ideles modulo the division algebra itself is compact. Using this result one can generalize Dirichlets Unit Theorem and show that the unit group of an order of a division algebra is finitely generated.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Division Algebra unit order Adele Idele
Schlagwörter
(Deutsch)
Divisionsalgebra Einheit Ordnung Adele Idele
Autor*innen
Sophie Koch
Haupttitel (Englisch)
On units of central division algebras over algebraic number fields
Paralleltitel (Deutsch)
Einheiten von zentralen Divisionsalgebren über algebraischen Zahlkörpern
Paralleltitel (Englisch)
On units of central division algebras over algebraic number fields
Publikationsjahr
2011
Umfangsangabe
61 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Joachim Schwermer
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie ,
31 Mathematik > 31.20 Algebra: Allgemeines
AC Nummer
AC08421694
Utheses ID
11916
Studienkennzahl
UA | 405 | | |