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Quantum Markov processes and applications in many-body systems
Paul Kristan Temme
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Betreuer*in
Frank Verstraete
DOI
10.25365/thesis.13641
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30029.57724.992866-3
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung von quantenmechanischen und klassischen
Markov-Prozessen und deren Anwendung im Bereich der stark korrelierten
Vielteilchensysteme. Unter einem Markov-Prozess versteht man eine spezielle Art eines stochastischen Prozesses,
dessen weitere dynamische Entwicklung unabhängig ist von der Vorgeschichte seiner Entwicklung und nur von der derzeitigen
Konfiguration abhängt. Die Anwendung von Markov-Prozessen im Bereich der
statistischen Mechanik von klassischen Vielteilchensystemen hat eine lange Geschichte. Markov-Prozesse
dienen nicht nur der Beschreibung der Dynamik von stochastischen Systemen, sondern liefern vielmehr auch
eine sehr praktische Methode, mit dereren Hilfe grundlegende Eigenschaften komplexer Vielteilchenprobleme in
Form eines probabilistischen Algorithmus berechnet werden können. Ziel dieser Arbeit ist es das Verhalten von quantenmechanischen Markov
Prozessen, dies sind Markov-Prozesse, welchen ein quantenmechanischer Konfigurationsraum zu Grunde liegt,
zu untersuchen und mit deren Hilfe komplexe Vielteilchensysteme besser zu verstehen. Darüber hinaus formulieren
wir einen Quantenalgorithmus, mit dessen Hilfe es möglich ist, die thermischen- und Grundzustandseigenschaften
von quantenmechanischen Vielteilchensystemen zu berechnen. Nachdem wir eine kurze Einführung in das Feld der quantenmechanischen
Markov-Prozesse gegeben haben, untersuchen wir deren Konvergenzeigenschaften. Wir finden Schranken für die Konvergenzraten
der quantenmechanischen Prozesse, basierend auf einer Verallgemeinerung von geometrischen Schranken, welche für klassische Prozesse
gefunden wurden. Wir verallgemeinern ein Abstandsmaß, die Chi-Quadrat Divergenz für nicht kommutative Wahrscheinlichkeitsräume,
welches unseren Untersuchungen zu Grunde liegt. Diese Divergenz ermöglicht auch eine Verallgemeinerung der detaillierten Balance
für quantenmechanische Prozesse. Danach konstruieren wir den Quantenalgorithmus, der als natürliche Verallgemeinerung des Metropolisalgorithmus
für quantenmechanische Hamiltonoperatoren verstanden werden kann. Wir beabsichtigen damit zu zeigen, dass ein Quantencomputer
in der Lage ist, als universeller Quantensimulator zu fungieren, welcher nicht nur die Dynamik eines Quantensystems beschreiben kann, sondern
auch den Zugang zu statischen Berechnungen ermöglicht. Danach untersuchen wir die Korrelationseigenschaften von klassischen
Nichtgleichgewichtszuständen mit Methoden der Quanteninformationstheorie. Wir konstruieren eine Klasse von Matrix-Produkt-Zuständen,
deren Korrelationen anhand von klassischen Markov-Prozessen verstanden werden können. Schließlich untersuchen wir
die Transporteigenschaften eines stationären Nichtgleichgewichtszustandes. Die dynamische Gleichung ist so konstruiert, dass
der Transport je nach Parameterwahl entweder hauptsächlich stochastisch oder hauptsächlich kohärent stattfindet.
Wir können somit die unterschiedlichen Formen des Transports innerhalb eines Modells miteinander vergleichen.
Abstract
(Englisch)
This thesis is concerned with the investigation of quantum as well as classical Markov processes and their application in
the field of strongly correlated many-body systems. A Markov process is a special kind of stochastic process, which
is determined by an evolution that is independent of its history and only depends on the current state
of the system. The application of Markov processes has a long history in the field of statistical mechanics and classical
many-body theory. Not only are Markov processes used to describe the dynamics of stochastic systems, but they
predominantly also serve as a practical method that allows for the computation of fundamental properties of
complex many-body systems by means of probabilistic algorithms. The aim of this thesis is to investigate the properties
of quantum Markov processes, i.e. Markov processes taking place in a quantum mechanical state space, and to gain a
better insight into complex many-body systems by means thereof. Moreover, we formulate a novel quantum algorithm
which allows for the computation of the thermal and ground states of quantum many-body systems. After a brief introduction
to quantum Markov processes we turn to an investigation of their convergence properties. We find bounds on the convergence
rate of the quantum process by generalizing geometric bounds found for classical processes. We generalize a distance
measure that serves as the basis for our investigations, the chi-square divergence, to non-commuting probability spaces.
This divergence allows for a convenient generalization of the detailed balance condition to quantum processes. We then
devise the quantum algorithm that can be seen as the natural generalization of the ubiquitous Metropolis algorithm to
simulate quantum many-body Hamiltonians. By this we intend to provide further evidence, that a quantum computer
can serve as a fully-fledged quantum simulator, which is not only capable of describing the dynamical evolution of quantum
systems, but also gives access to the computation of their static properties. After this, we turn to an investigation of
classical non-equilibrium steady states with methods derived from quantum information theory. We construct a special
class of matrix product states that exhibit correlations which can best be understood in terms of classical Markov processes.
Finally, we investigate the transport properties of non-equilibrium steady states. The dynamical equations are constructed
in such a manner that they allow for both stochastic as well as coherent transport in the same formal framework.
It is therefore possible to compare different forms of transport within the same model.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Quantum Markov processes Quantum information theory Quantum algorithms Many-body systems
Schlagwörter
(Deutsch)
Quantenmechanische Markov-Prozesse Quanteninformationstheorie Quantenalgorithmen Vielteilchensysteme
Autor*innen
Paul Kristan Temme
Haupttitel (Englisch)
Quantum Markov processes and applications in many-body systems
Paralleltitel (Deutsch)
Quantenmechanische Markov-Prozesse und deren Anwendung im Bereich der Vielteilchensysteme
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
157 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Caslav Bruckner ,
David Perez - Garcia
Klassifikation
33 Physik > 33.23 Quantenphysik
AC Nummer
AC08723693
Utheses ID
12258
Studienkennzahl
UA | 091 | 411 | |