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Manifolds of J-holomorphic fibre bundle sections and their dimension
Markus Steenbock
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Stefan Haller
DOI
10.25365/thesis.14349
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30019.61433.787854-0
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Eine J-holomorphe Kurve ist eine Abbildung von einer Riemann Fläche in eine fast komplexe Mannigfaltigkeit, die die Cauchy-Riemann Gleichung erfüllt. Eine Kurve kann als Schnitt in ein triviales Faserbündel gedacht werden. In dieser Interpretation ist das Differential einer Kurve die kovariante Ableitung des Schnittes bezüglich einer Konnektion auf dem Faserbündel. Der Cauchy-Riemann Gleichung kann also auf Faserbündeln über einer Riemannfläche Sinn gegeben werden, die mit einer vertikalen fast komplexen Strukur ausgestattet sind, einem Vektorbündelendomorphismus des vertikalen Bündels, der sich auf den Fasern zu einer fast komplexen Struktur einschränkt. In dieser Diplomarbeit wird gezeigt, dass der Lösungsraum für fast alle Konnektionen, bis auf eine Menge von erster Kategorie, eine endlich dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Die Dimension der Zusammenhangskomponenten dieser Mannigfaltigkeiten kann mit Hilfe des Satzes von Riemann-Roch berechnet werden. Der Satz von Smale und Sard wird diskutiert. Die kanonische unendlich dimensionale Mannigfaltigkeitsstruktur auf Räumen von Faserbündelschnitten von C^l- oder Sobolevklasse wird eingeführt. Im Appendix wird der Satz von Atiyah-Singer für Dirac Operatoren und der Satz von Riemann-Roch erläutert.
Abstract
(Englisch)
A J-holomorphic curve is a map from a Riemannian surface to an almost complex manifold, which satisfies the Cauchy-Riemann equation. A curve can be thought of as a section in a trivial fibre bundle. In this picture, differentiation of a curve is covariant differentiation of a section with respect to a connection on the fibre bundle. So the Cauchy-Riemann equation makes sense for fibre bundles over a Riemannian surface, which are equipped with a vertical almost complex structure, an endomorphism of the vertical bundle restricting to an almost complex structure on the fibres. In this diploma thesis it is shown that the solution space is a finite dimensional manifold for almost all connections, up to a set of first category. The dimension of the connected components of this manifolds can be computed using Riemann-Roch's theorem. Smale's Sard theorem is discussed. The canonical infinite dimensional manifold structure on C^l and Sobolev spaces of fibre bundle sections is introduced. Atiyah-Singer's Index theorem for Dirac operators and Riemann-Roch's theorem is explained in the appendix.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Banach manifold Sobolev space Cauchy-Riemann differential equations nonlinear elliptic differential equation index theorem
Schlagwörter
(Deutsch)
Banach Mannigfaltigkeit Sobolev Raum Cauchy-Riemann Differentialgleichungen Nichtlineare elliptische Differentialgleichung Indextheorem
Autor*innen
Markus Steenbock
Haupttitel (Englisch)
Manifolds of J-holomorphic fibre bundle sections and their dimension
Paralleltitel (Deutsch)
Mannigfaltigkeiten J-holomorpher Faserbündelschnitte und ihre Dimension
Publikationsjahr
2011
Umfangsangabe
IX, 61 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Stefan Haller
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie ,
31 Mathematik > 31.55 Globale Analysis
AC Nummer
AC08515954
Utheses ID
12873
Studienkennzahl
UA | 405 | | |