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Consistent dynamic equity market code-books from a practical point of view

Sara Karlsson

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Walter Schachermayer

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DOI

10.25365/thesis.14655

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29784.51874.290753-8

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Gebräuchliche Aktienpreis- bzw.Martingalmodelle beschreiben die Dynamik des Preises einer Aktie unter einem Martingalmaß; grundlegendes Beispiel ist das Black-Scholes Modell. Im Gegensatz dazu zielt ein Marktmodell darauf ab die Dynamik eines ganzen Marktes (d.h. Aktienpreis plus abgeleitete Optionen) zu beschreiben. In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit arbitragefreien Modellen die die Dynamik eines Aktienpreises sowie flüssig gehandelter Derivate beschreiben. ("equity market models" respektive "market models for stock options"). Die Motivation derartige Modelle zu betrachten, liegt darin, dass europäische Optionen flüssig gehandelt werden und daher Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Stochastik erlauben. Marktmodelle werden auch für Anleihen angewandt; wir verweisen auf Heath, Jarrow, and Morton [1992]. In jüngerer Zeit beeinflußt dieser Zugang auch Aktienpreismodelle (siehe beispielsweise Derman and Kani [1998], Dupire [1996]). Derman und Kani schlagen vor, die dynamische Entwicklung von Märkten mittels Differentialgleichungen für Aktienpreis und volatility surface zu modellieren. Ein anderer Zugang wird von Schönbucher [1999] gewählt; hier ist der Ausgangspunkt die gemeinsame Dynamik von Aktienpreis und impliziten Black-Scholes Volatilitäten. Carmona and Nadtochiy [2009] schlagen ein Marktmodell vor, in dem der Aktienpreis als exponentieller Levy-Prozeß gegeben ist. In diesem Fall wird eine zeitinhomogene Levy-Dichte verwendet um die zusätzlichen, durch Optionspreise gegebenen Informationen miteinzubeziehen. Der erste Teil dieser Dissertation beschreibt zwei unterschiedliche Zugänge um durch den Markt gegebene Informationen zu beschreiben. Einerseits kann dies durch ein local volatility Codebuch geschehen, andererseits kann ein Levy-Dichte Codebuch verwendet werden. Wir beschreiben verschiedene Kalibrierungsverfahren; insbesondere vergleichen wir parametrische mit nicht-parametrischen Methoden. Im zweiten Abschnitt beschreiben wir verschiedene dynamische Modelle, die entstehen, wenn man die beiden obigen Codebücher "in Bewegung setzt". D.h. wir beschreiben dynamische local-volatility sowie dynamische Levy-Dichte Modelle. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Konsistenz (d.h. Aribtragefreiheit) dieser Modelle. Aufgrund der zusätzlichen stochastischen Dynamik, erscheint dieser Aspekt durchaus als Herausforderung. Im letzten Teil dieser Arbeit betrachten wir einen speziellen Typ von Levy-Modellen. Die spezielle Struktur der Modellparameter ist durch eine Kalibrierung an Marktdaten gemäß Ortega et al. [2009] motiviert. Wir berechnen Konsistenzbedingungen für den vorliegenden speziellen Typ und implementieren sie mithilfe eines geeigneten Euler-Schemas.

Abstract

(Englisch)

Traditional pricing models, or martingale models, are based on the dynamics of the underlying stock price under some martingale measure Q, e.g. as in the Black-Scholes model. A market model on the other hand, aims at describing the behavior of the whole market (i.e. the stock with derivative prices), not a single stock. In this thesis markets are considered which consist of one underlying together with its liquidly traded derivative instruments. Hence we consider models that describe simultaneously the dynamics of the liquid derivative instruments and the underlying, without introducing arbitrage. We refer to this as equity market models or market models for stock options. The motivation for such a model lies first of all in the fact that European vanilla options are liquidly traded on the market, and they contain therefore relevant information on the underlying stochastics. We have that not all observable option price movements can be related to changes of the stock. Market models have successfully been used in fixed income theory through the approach of Heath, Jarrow, and Morton [1992]. More recently this approach has been in uencing pricing models for the equity markets, e.g. as advocated by Derman and Kani [1998], Dupire [1996]. Derman and Kani propose modeling market dynamics through stochastic differential equations for the stock price process $S = (S_t)_t\geq 0$ and the local volatility surface. Another approach is taken by Schönbucher [1999]. He prescribes a stochastic development of the underlying S together with implied Black-Scholes volatilities of a set of given standard options. Carmona and Nadtochiy [2009] propose a market model by prescribing the stock price S as an exponential Levy process. A time inhomogeneous Levy density is in this case used to capture the information given by the market option prices. The first part of this thesis is devoted to describing two approaches of capturing market information; By using the local volatility code-book and by using the Levy density code-book. In this part also different calibration methods (of local volatility resp. Levy models) are discussed in more detail. In particular parametric calibration methods are compared with non parametric ones. The second part of this thesis discusses dynamic models arising from setting the two code-books above in motion. That is, dynamic local volatility models and dynamic Levy density models. In particular consistency (absence of arbitrage) in this type of market models is addressed; As stochastic dynamics for the local volatility (or Levy density) are introduced, it has to be ensured that this does not give rise to arbitrage opportunities. We notice that this is quite a challenging task. In the third and last part of this thesis we look at a specific type of a dynamic Levy market model. Again, consistency is discussed. The specific form of model parameters is motivated by a calibration to market data a la Ortega et al. [2009]. We calculate the consistency conditions in our simplified model and implement it using an Euler scheme.

Autor*innen

Sara Karlsson

Haupttitel (Englisch)

Consistent dynamic equity market code-books from a practical point of view

Paralleltitel (Deutsch)

Konsistente dynamische Codebücher für Aktienmärkte - eine praxisnahe Sichtweise

Publikationsjahr

2011

Umfangsangabe

103 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Josef Teichmann ,

Tomas Björk

Klassifikation

31 Mathematik > 31.99 Mathematik: Sonstiges

AC Nummer

AC08704289

Utheses ID

13147

Studienkennzahl

UA | 791 | 405 | |

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