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Discretized best-response dynamics for cyclic games
Peter Bednarik
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Josef Hofbauer
DOI
10.25365/thesis.15415
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29223.21216.632270-6
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Verhalten der Best-Response-Dynamik in diskreter
Zeit in Zusammenhang mit Spielen, die als Falken-Tauben-, Stein-Schere-Papier- und
Kampf der Geschlechter- Spiel bekannt sind. Wegen der Unstetigkeit der Best-Response
Dynamik gibt es einige wesentliche Unterschiede zu ihrem zeitkontinuierlichen Pendant.
Insbesondere werden wir sehen, dass sich durch die Diskretisierung asymptotisch stabile
Fixpunkte in Repeller verwandeln k¨onnen, welche von einem ringf¨ormigen Attraktor
umgeben sind. In solchen Fällen betrachten wir den inneren und ¨außeren Radius des
Attraktors, der an die Stelle des stabilen Fixpunktes tritt. Wenn man die Schrittweite
der Diskretisierung h gegen Null gehen lässt - und sich somit der zeitkontinuierlichen
Version annähert - so verkleinert sich der äußere Radius im eindimensionalen Fall linear
mit h und im zweidimensionalen Fall nur mit Ordnung von √h. Der innere Radius
verhält sich im eindimensionalen Fall unstetig (bzgl. h) und linear mit h im zweidimensionalen
Fall.
Kapitel 1 gibt einen Überblick über stabile eindimensionale stückweise lineare unstetige
Abbildungen, wobei Border-Collision Bifurkationen eine wichtige Rolle spielen. Sodann
werden die erhaltenen Resultate auf Falken-Tauben Spiele angewendet. In Kapitel
2 entwickeln wir eine Methode zur Konstruktion des Attraktors für zweidimensionale
Systeme anhand des Stein-Schere-Papier Spiels. Jene wird dann in Section 3 auf eine
etwas andere Dynamik, sowie auf das Kampf der Geschlechter Spiel angewendet.
Abstract
(Englisch)
The main objective of this work is to examine the behavior of the Best-Response dynamics
in discrete time in the context of games known as Hawk-Dove, Rock-Paper-Scissors,
or Battle of Sexes (Odd or Even) games. Due to its discontinuity, there are remarkable
differences to the continuous-time version. In particular, we will see that by discretization,
asymptotically stable fixed points can turn into repellors surrounded by an annulus
shaped attracting region. In such situations we measure the inner and outer radius of
the attracting region that is replacing an attracting point and investigate what happens
when scaling down the discretization step, i.e. moving towards the continuous-time version.
For one-dimensional systems, the outer radius turns out to diminish with the same
order as the discretization step, while for two-dimensional systems it will diminish with
the order of its square-root. The inner radius does not behave continuously with respect
to the discretization step in the one-dimensional case and diminishes with linear order
in the two-dimensional case.
In section 1, we give an overview of the theory of stable one-dimensional piecewiselinear
discontinuous maps, which leads to the analysis of border-collision bifurcations.
We then apply the results for Hawk-Dove games. We show a method for construction
of the attractor in two-dimensional systems in section 2, where we focus on the Rock-
Paper-Scissors game. In section 3, we adapt this method for a slightly different dynamics
of the Rock-Paper-Scissors game as well as for the Battle of Sexes game.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Discrete dynamical system piecewise linear map discrete dynamical system periodic orbit Game theory
Schlagwörter
(Deutsch)
Diskretes dynamisches System Stückweise lineare Abbildung Diskretes dynamisches System/ Periodischer Orbit Spieltheorie
Autor*innen
Peter Bednarik
Haupttitel (Englisch)
Discretized best-response dynamics for cyclic games
Paralleltitel (Deutsch)
Diskretisierte Best-Response Dynamik für zyklische Spiele
Publikationsjahr
2011
Umfangsangabe
52 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Josef Hofbauer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.49 Analysis: Sonstiges
AC Nummer
AC08704350
Utheses ID
13834
Studienkennzahl
UA | 405 | | |