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Functionalanalytic methods for paraxial wave equations
Matthias Winter
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Günther Hörmann
DOI
10.25365/thesis.15459
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30240.79633.873764-9
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit behandelt funktionalanalytische Methoden für paraxiale Wellengleichungen vom Schrödinger-typ mit nicht-glatten Koeffizienten.
Wichtigstes Werkzeug ist die Theorie der stark stetigen Evolutionssysteme, welche wiederum auf der Theorie der stark stetigen Operatorhalbgruppen aufbaut. Die Abstimmung der beiden Theorien auf die spezielle Situation nimmt einen großen Teil dieser Arbeit in Anspruch. Um den Einstieg zu erleichtern, werden anfangs einige grundlegende Begriffe aus der Funktionalanalysis und der Distributionentheorie wiederholt. Danach werden Operatorhalbgruppen und Evolutionssysteme besprochen. Bedingungen für die Existenz von Halbgruppen sind wohlbekannt und werden aus der Literatur übernommen. Stattdessen wird die Existenz eines Evolutionssystems im hyperbolischen Fall genau bewiesen, da die Beweistechniken auch im letzten Kapitel relevant sind.
Im letzten Teil dieser Arbeit wird eine spezielle paraxiale Wellengleichung vom obigen Typ besprochen. Dazu wird einleitend ihr Nutzen in der Geophysik angedeutet. Danach werden die Bedingungen für die Existenz eines Evolutionssystems nachgewiesen. Hierfür wird, neben den oben genannten Werkzeugen, noch eine Vielzahl an technischen Resultaten über Sobolevräume benötigt. Die Schwierigkeit liegt bei den niedrigen Regularitätseigenschaften der Koeffizienten. Schließlich gelingt es, die Existenz und Eindeutigkeit einer starken Lösung im entsprechenden Setting zu beweisen.
Abstract
(Englisch)
This diploma thesis deals with functional analytic methods for paraxial wave equations of Schrödinger-type with non-smooth coefficients.
Main instrument is the theory of strongly continuous evolution systems, which is based on the theory of semigroups of bounded linear operators. The particular choice of results needed in the special situation, occupies a large part of this text. Getting started, some basics of functional analysis and distribution theory pave the way. Then basic results about semigroups and evolution systems are introduced. Conditions for the existence of a semigroup are well-known and are therefore taken from literature. Instead, the proof for existence of an evolution system in the hyperbolic case is given, since it contains techniques which are also relevant in the last chapter.
The last part of this thesis treats a certain paraxial wave equation of the above type. Thereto the geophysical benefit is outlined. Verifying the conditions for the existence of an evolution system, one additionally needs various technical results about Sobolev spaces. The difficulty is the low-coefficient regularity. Finally existence and uniqueness of a strong solution can be achieved.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
evolution systems strongly continuous semigroups of linear operators differential equations on Banach spaces paraxial wave equation partial differential operator with non-smooth coefficients geophysical application
Schlagwörter
(Deutsch)
Evolutionssysteme stark stetige Operatorhalbgruppen Differentialgleichungen auf Banachräumen paraxiale Wellengleichung partieller differentialoperator mit nicht-glatten Koeffizienten Anwendung aus der Geophysik
Autor*innen
Matthias Winter
Haupttitel (Englisch)
Functionalanalytic methods for paraxial wave equations
Paralleltitel (Deutsch)
Funktionalanalytische Methoden für paraxiale Wellengleichungen
Publikationsjahr
2011
Umfangsangabe
XI, 55 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Günther Hörmann
AC Nummer
AC08860898
Utheses ID
13870
Studienkennzahl
UA | 405 | | |