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Universal properties and categories of modules

Lukas Spiegelhofer

Art der Arbeit

Diplomarbeit

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Johannes Schoißengeier

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DOI

10.25365/thesis.15799

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29775.28982.197969-7

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Die Sprache der Kategorientheorie wurde ursprünglich von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane entwickelt, um präzise uber den Begriff der natürlichen Transformation sprechen zu können. Seither hat sie sich in vielen Themengebieten, zum Beispiel in der algebraischen Topologie oder in der Informatik, als praktisches und vielseitiges sprachliches Mittel erwiesen. In der vorliegenden Arbeit führen wir grundlegende Konzepte und Sätze aus der Kategorientheorie ein und behandeln damit bekannte mathematische Tatsachen hauptsächlich algebraischer Natur. Die Kategorientheorie auf mathematische Fragestellungen anzuwenden kann Ähnlichkeiten zwischen Gebieten sichtbar machen, die auf den ersten Blick sehr verschieden aussehen. Außerdem werden so manchmal kürzere Beweise von Sätzen erzielt. Auf der anderen Seite können durch die Übersetzung mathematischer Aussagen in eine Form, auf die man kategorientheoretische Mittel anwenden kann, umständliche Formulierungen entstehen, die das eigentliche Argument verschleiern. Im ersten Kapitel werden einige wichtige Begriffe und Sätze aus der Kategorientheorie behandelt. Bei der Definition einer Kategorie beginnend, behandeln wir die wichtigen Begriffe Adjunktion und Limes eines Funktors. Zentrale Resultate sind die Assoziativität von Limiten und die Tatsache, dass rechtsadjungierte Funktoren Limiten bewahren. Das zweite Kapitel behandelt multilineare Abbildungen und das Tensorprodukt. Diese beiden Begriffe sind vermöge einer Adjunktion miteinander verbunden. Ausgehend von dieser Tatsache beweisen wir die Assoziativität des Tensorproduktes von Bimoduln mit kategorientheoretischen Mitteln. Im dritten Kapitel werden einige Anwendungen der Sätze aus dem ersten Kapitel aufgezeigt. Es sind das Resultate, die wohlbekannt sind; durch die Zurückführung auf die Kategorientheorie werden jedoch Gemeinsamkeiten zwischen den Beispielen sichtbar, die man ohne sie nicht so leicht erkennt.

Abstract

(Englisch)

The language of category theory was initially developed by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane, in order to be able to talk about the concept of “natural transformation” in a precise manner. Since then, it has proven to be a convenient means to talk about topics as diverse as algebraic topology and computer science. In the present work, we introduce some basic concepts and theorems of category theory and relate them to mathematical results, mainly from the field of algebra. Application of category theoretic results to mathematics may help to see similarities between areas that seem unrelated at first sight. Also, in the same process, it may yield shorter proofs for theorems. On the other hand, the process of translating mathematical statements into a form on which category theoretic tools can be applied, may introduce tedious passages that obfuscate the main argument. In the first chapter, we introduce a number of important terms and theorems of category theory. Starting from the definition of the term category, we investigate the important concepts of adjunction and limit of a functor. Central results are the theorem on the associativity of limits and the fact that right adjoint functors preserve limits. The second chapter covers multilinear maps and the tensor product. These concepts are connected by means of an adjunction. Starting from this fact we prove the theorem on the associativity of the tensor product of bimodules using category theoretic means. In the third chapter we show some applications of the theorems in the first chapter. These results are well-known; but the reduction to category theory reveals similarities between the examples that are not as easy to see without this theory.

Autor*innen

Lukas Spiegelhofer

Haupttitel (Englisch)

Universal properties and categories of modules

Paralleltitel (Deutsch)

Universelle Eigenschaften und Kategorien von Moduln

Publikationsjahr

2011

Umfangsangabe

IV, 63 S. : graph. Darst.

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Johannes Schoißengeier

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.20 Algebra: Allgemeines ,

31 Mathematik > 31.27 Kategorientheorie

AC Nummer

AC08875563

Utheses ID

14182

Studienkennzahl

UA | 405 | | |

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