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The classical and distributional Denjoy integral
Clemens Sämann
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Günther Hörmann
DOI
10.25365/thesis.16152
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30190.77685.354063-5
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es eine Integrationstheorie zu entwickeln, in der alle Ableitungen von reellwertigen Funktionen auf einem Intervall integrierbar sind und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) gilt.
Als erstes werden wir in Kapitel 0 zeigen, dass das Riemann und Lebesgue Integral diese Eigenschaft nicht haben. Dann in Kapitel 1 präsentieren wir eine Lösung dieses Problems, nämlich das klassische Denjoy Integral. Es beruht auf Ideen aus der Maßtheorie und ist eine direkte Verallgemeinerung des Lebesgue Integrals. Jede Stammfunktion einer Lebesgue integrierbaren Funktion ist absolut stetig (AC) und man kann Lebesgue Integrierbarkeit in Form von diesen Stammfunktionen definieren. Wir imitieren dies indem wir den Begriff der absoluten Stetigkeit verallgemeinern und so das klassische Denjoy Integral in einer beschreibenden Form durch die Stammfunktionen definieren. Es gibt eine zweite Lösung zu dem Problem alle Ableitungen zu integrieren so dass der HDI gilt - das distributionelle Denjoy integral. Es wird in Kapitel 2 besprochen. Es baut auf der Distributionentheorie (verallgemeinerte Funktionen) auf und wird auch in Form von Stammfunktionen definiert. In diesem Fall sind die Stammfunktionen stetige Funktionen mit Grenzwerten bei unendlich (oder einfach nur stetige Funktionen, falls wir nur beschränkte Intervalle betrachten) und die Differentiation ist im distributionellem Sinne zu verstehen. Im Kapitel 3 besprechen wir schlussendlich weitere Eigenschaften, Anwendungen und Verallgemeinerungen des klassischen und distributionellen Denjoy Integrals.
Abstract
(Englisch)
The main goal in this thesis is to develop an integration theory where every derivative of a real-valued
function on an interval is integrable and the fundamental theorem of calculus (FTC) holds.
First in Chapter 0 we show how the Riemann and Lebesgue integrals fail to have this property. Then in Chapter 1 we discuss one solution of this problem, namely the classical Denjoy integral. It relies on ideas from measure theory and is a direct generalization of the Lebesgue integral. Every primitive of a Lebesgue integrable function is absolutely continuous (AC) and one can define Lebesgue integrability in terms of these primitives. For the classical Denjoy integral we mimic this by generalizing the notion of absolute continuity and defining the classical Denjoy integral in a descriptive way in terms of the primitives. There is a second solution to the problem of integrating all derivatives and the FTC - the distributional Denjoy integral, which is discussed in Chapter 2. It uses the theory of distributions (generalized functions) and the integral is also defined in terms of primitives. In this case the primitives are continuous functions with limits at infinity (or just continuous functions in the case of bounded intervals) and the differentiation is understood in the distributional sense. Finally in Chapter 3 we discuss further properties, applications and generalizations of the classical and distributional Denjoy integral.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
denjoy integration
Schlagwörter
(Deutsch)
Denjoy-Integration
Autor*innen
Clemens Sämann
Haupttitel (Englisch)
The classical and distributional Denjoy integral
Paralleltitel (Deutsch)
Das klassische und distributionelle Denjoy Integral
Publikationsjahr
2011
Umfangsangabe
VIII, 91 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Günther Hörmann
Klassifikation
31 Mathematik > 31.41 Reelle Analysis
AC Nummer
AC08864429
Utheses ID
14489
Studienkennzahl
UA | 405 | | |