Detailansicht
On singular wave equations
Clemens Hanel
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Roland Steinbauer
DOI
10.25365/thesis.17240
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29365.91681.785253-6
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Existenzetheorie für Lösungen von Wellengleichungen niedriger Regularität auf Lorentzmannigfaltigkeiten unter Verwendung der Theory verallgemeinerter Funktionen. Wir bauen auf einem Existenzrsultat von Grant, Mayerhofer und Steinbauer für lineare Wellengleichungen mit Koeffizienten niedriger Regularität (im Sinne von Colombeau) auf. Von einem geometrischen Standpunkt aus, zeigt dieses Resultat, daß das Cauchyproblem für den Laplace-Beltrami-Operator einer verallgemeinerten Lorentzmannigfaltigkeit korrekt gestellt ist. Im Kontext des Vorschlags von Clarke werden solche Raumzeiten $\mcl G$-hyperbolisch genannt und können als nichtsingulär betrachtet werden. In dieser Arbeite erweitern wir die Existenz- und Eindeutkeitsresultate aus \cite{GMS09} für lineare, tensorielle Wellengleichungen und schließen, in Hinblick auf die mögliche Anwendung für die Existenztheorie quasilinearer Gleichungen, auch den Fall der Anwesenheit von Termen niedriger Differentiationsordnung mit ein. Das technische Kernstück sind Energieabschätzungen höherer Ordnung, die wir versuchen besondern klar und übersichtlich darzustellen, um ein Existenz- und Eindeutigkeitsresultat für Gleichungen mit verallgemeinerten Koeffizienten zu erhalten. Wir diskutieren auch den Zusammenhang von Wellengleichungen mit niedriger Regularität und symmetrischen, hyperbolischen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung basierend auf den Existenzresulateten von Hörmann und Spreitzer \cite{HoSp11} und erhalten so weitere Existenz- und Eindeutigkeitssätze für sowohl Wellengleichungen als auch hyperbolische Systeme erster Ordnung.
Abstract
(Englisch)
This work is concerned with the existence theory of wave equations on Lorentzian manifolds of low regularity using the theory of generalized functions. We build upon a result by Grant, Mayerhofer and Steinbauer \cite{GMS09} who proved an existence and uniqueness theorem for scalar linear wave equations with coefficients of low regularity (in the sense of Colombeau). From a geometrical viewpoint this proves the well-posedness of the Cauchy problem for the Laplace-Beltrami operator of a generalized Lorentzian manifold. In the context of Clarke's proposal \cite{Cla98} such spacetimes are called $\mcl G$-hyperbolic and can be considered as non-singular. In this work we extend the existence and uniqueness theory of \cite{GMS09} to linear tensorial wave equations including lower order terms with regard to a possible application on the existence theory of quasilinear equations. The technical centrepiece are higher order energy estimates which we present in a particular clear way to derive an existence and uniqueness theorem in the generalized setting. We also discuss the relations of low regularity wave equations and symmetric hyperbolic first order systems based on the work of Hörmann and Spreitzer \cite{HoSp11} which amounts in further existence and uniqueness results for both wave equations and first order systems.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Wave equation Lorentzian geometry Colombeau algebra
Schlagwörter
(Deutsch)
Wellengleichung Lorentzgeometrie Colombeau Algebra
Autor*innen
Clemens Hanel
Haupttitel (Englisch)
On singular wave equations
Paralleltitel (Deutsch)
Über singuläre Wellengleichungen
Publikationsjahr
2011
Umfangsangabe
VI, 103 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
James Vickers ,
James Grant
AC Nummer
AC08885928
Utheses ID
15452
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |