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Galoistheorie und Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Christian Dorner
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Karl Auinger
DOI
10.25365/thesis.19237
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29108.66734.495161-3
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit Galoistheorie und ihrer Anwendung auf die Konstruktion von regelmäßigen Vielecken mit Zirkel und Lineal. In den ersten sechs Kapiteln wird der Hauptsatz der endlichen Galoistheorie erarbeitet. Die Arbeit beginnt mit der Betrachtung von einfachen und algebraischen Körpererweiterungen. Im Anschluss wird bewiesen, dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss besitzt. Über die Einführung von Zerfällungskörper zeigen wir, dass je zwei algebraische Abschlüsse von K bis auf K-Isomorphie eindeutig sind. Weiters werden normale und separable Körpererweiterungen und ihre Eigenschaften untersucht. Diese sind für die Behandlung von galoisschen Erweiterungen besonders wichtig. Wir beantworten im Anschluss die Fragestellung, wie viele Zwischenkörper eine endliche, normale Körpererweiterung L/K hat. Mit Hilfe der Galoiskorrespondenz können wir die Zwischenkörper eindeutig Untergruppen der Galoisgruppe zuordnen. Das Auffinden von Zwischenkörper wird auf das Auffinden von Untergruppen reduziert. Ausgerüstet mit dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie werden im siebenten Kapitel Konstruierbarkeitsfragen behandelt. Dabei verwenden wir die erarbeitete Sprache der Körpererweiterungen und wenden diese auf Konstruktionsprobleme an. Es wird gezeigt, dass die Menge aller konstruierbaren Punkte K(S) ausgehend von einer Startmenge S mit 0,1 in S ein Teilkörper von C ist. Im Abschnitt Kreisteilungskörper behandeln wir die Einheitswurzeln, diese sind der Schlüssel zur Konstruktion von regelmäßigen Vielecken, da sie als die Eckpunkte von regelmäßigen Eckpunkten betrachtet werden können. Schlussendlich wird genau angegeben, welches n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und welches nicht. Wir erstellen einen Zusammenhang zwischen den fermatschen Primzahlen und der Konstruierbarkeit von regelmäßigen n-Ecken. Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn ϕ(n) eine Potenz von 2 ist. Abschließend werden wir mit Hilfe der Galoistheorie das 5-Eck und das 17-Eck konstruieren. Dabei geben wir jeweils einen entsprechenden Körperturm an, dieser liefert uns ein Konstruktionsverfahren der beiden Vielecke.
Abstract
(Englisch)
This diploma thesis deals with Galois theory and its application to constructions with compass and ruler. The first six chapters are a preparation of the fundamental theorem of Galois theory. At first we analyze field extensions, in particular algebraic and simple extensions. Furthermore we prove an important theorem, which is known as "tower law". Then we show that every field K has an algebraic closure. With the help of the theory of splitting fields, we prove that an algebraic closure is unique up to an isomorphism, which fixes K. Afterwards normal and separable field extensions are introduced. These special extensions are important for Galois theory. In the sixth chapter we set up a bijection between the set of intermediate fields of a finite Galois extension and the set of subgroups of the Galois group. This function is called the Galois correspondence. The determination of intermediate fields of a Galois extension is reduced to the determination of the subgroups of the Galois group. The next chapter gives an application of the Galois theory. At first we consider simple constructions with compass and ruler and connect the language of field extensions to constructions with ruler and compass. In the next chapter cyclotomic fields are introduced, where we consider primitive roots. The complex primitive roots of unity are the key to construct regular polygons. We prove that the regular n-gon is constructible if and only if ϕ(n) is a power of 2, where ϕ(n) is Euler's totient function. Furthermore we reduce the problem to number theory, by giving a connection to the Fermat primes. At the end the fundamental theorem of Galois theory is used to construct the 5-gon and the 17-gon, by finding an explicit tower of fields.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Galois theory construction with compass and ruler
Schlagwörter
(Deutsch)
Galois-Theorie Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Autor*innen
Christian Dorner
Haupttitel (Deutsch)
Galoistheorie und Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
88 S.
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Karl Auinger
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.24 Körper, Polynome ,
31 Mathematik > 31.50 Geometrie: Allgemeines
AC Nummer
AC08958734
Utheses ID
17230
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 456 |