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Weyl-Titchmarsh-Kodaira theory for Dirac operators with strongly singular potentials
Rainer Brunnhuber
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Gerald Teschl
DOI
10.25365/thesis.20726
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29959.61905.225165-1
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, Weyl-Titchmarsh-Kodaira Theorie für eindimensionale Dirac Operatoren mit stark singulären Potentialen zu entwickeln. Insbesondere werden wir zeigen, wie man in diesem Fall eine (singuläre) Weyl Funktion definieren kann. Weiters werden wir eine zugehörige Spektraltransformation angeben, die unseren eindimensionalen Dirac Operator auf einen Multiplikationsoperator abbildet, und zeigen, wie man die wesentlichen Träger für die Lebesgue Zerlegung des Spektralmaßes aus dem Randverhalten der singulären Weyl Funktion erhalten kann. Darüberhinaus werden wir eine Integraldarstellung für die singuläre Weyl Funktion ableiten und ein Kriterium angeben, wann sie eine verallgemeinerte Nevanlinna Funktion ist. Liegt am Endpunkt a der Grenzkreisfall vor, so wird sich zeigen, dass die singuläre Weyl Funktion eine Herglotz–Nevanlinna Funktion ist. Schließlich werden wir einige unserer Resultate auf ein typisches Beispiel eines Dirac Operators mit einem stark singulären Potential anwenden, nämlich auf den radialen Dirac Operator mit Coulomb Potential, der ein Elektron im elektromagnetischen Feld eines punktförmigen Kerns beschreibt.
Abstract
(Englisch)
The objective of the present work is to develop Weyl-Titchmarsh-Kodaira theory for one-dimensional Dirac operators with strongly singular potentials. In particular, we will show how to define a (singular) Weyl function in this case. Furthermore, we will establish an associated spectral transformation which maps our one-dimensional Dirac operator to a multiplication operator and we will show how the essential supports for the Lebesgue decomposition of the spectral measure can be obtained from the boundary behavior of the singular Weyl function. Moreover, we will derive an integral representation for the singular Weyl function and give a criterion when it is a generalized Nevanlinna function. If the endpoint a is limit circle, the singular Weyl function will turn out to be a Herglotz-Nevanlinna function. Finally, we will apply some of our results to a prototypical example of a Dirac operator with a strongly singular potential, namely the radial Dirac operator with a Coulomb potential which describes an electron in the electromagnetic field of a point nucleus.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Dirac operator spectral theory Titchmarsh-Weyl theory
Schlagwörter
(Deutsch)
Dirac-Operator Spektraltheorie Titchmarsh-Weyl Theorie
Autor*innen
Rainer Brunnhuber
Haupttitel (Englisch)
Weyl-Titchmarsh-Kodaira theory for Dirac operators with strongly singular potentials
Paralleltitel (Deutsch)
Weyl-Titchmarsh-Kodaira Theorie für Dirac Operatoren mit stark singulären Potentialen
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
V, 79 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Gerald Teschl
AC Nummer
AC09387606
Utheses ID
18533
Studienkennzahl
UA | 405 | | |