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Solvability of partial differential equations with generalized complex coefficients
Gudrun Szewieczek
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Günther Hörmann
DOI
10.25365/thesis.21720
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30367.55781.718964-7
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit diskutiert die Lösbarkeit von partiellen Differentialgleichungen mit \\verallgemeinerten komplexen Koeffizienten. Ähnlich wie im Fall von nicht verallgemeinerten konstanten Koeffizienten bedienen wir uns dabei dem Konzept der Fundamentallösungen. Da im Rahmen von Colombeau Algebren Dualräume den passenden theoretischen Hintergrund für dieses Vorgehen liefern, geben wir eine ausführliche Einführung in diese. Eine besondere Stellung nehmen dabei sogenannte Basisfunktionale ein, jene Funktionale die durch Netze von Distributionen bestimmt werden. Sie spielen im Weiteren eine wichtige Rolle für partielle Differentialgleichungen.
\\\indent Die Hauptresultate der Arbeit sind eine verallgemeinerte Version des bekannten Malgrange-Ehrenpreis-Theorems und darauf aufbauend äquivalente Bedingungen zur Lösbarkeit von Gleichungen mit kompakt getragenen Inhomogenitäten.
\\\indent Der letzte Teil der Arbeit ist anwendungsorientierter und beginnt mit einer Ausdehnung der Faltung, die unter bestimmten Bedingungen auch Inhomogenitäten mit nicht kompaktem Träger erlaubt. Im Folgenden werden dann einige Lösungen zu bekannten Differentialgleichungen, unter anderem die Cauchy-Riemann und eine Art der Schrödinger Gleichung, vorgestellt.
Abstract
(Englisch)
The aim of this diploma thesis is to discuss the solvability of partial differential equations with generalized complex coefficients. Similar to the case of non generalized constant coefficients, we use the method of fundamental solutions. Since it turns out that in the Colombeau theoretic setting dual spaces provide an appropriate framework for them, we introduce these spaces in detail. A special focus is on basic functionals, which are determined by a net of distributions and play an important role in the context of partial differential operators.
\\\indent As main results we obtain an adapted version of the Malgrange-Ehrenpreis-Theorem, which guarantees a fundamental solution, and based on this, equivalent assertions to the solvability for equations with compactly supported inhomogeneities.
\\\indent The final part of the thesis begins with an extension of the convolution, which enlarges the class of possible inhomogeneities. In the following solutions for selected equations such as the Cauchy-Riemann and a generalized Schrödinger equation are presented.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
partial differential equations with constant coefficients dual spaces of Colombeau algebras fundamental solutions
Schlagwörter
(Deutsch)
partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Dualräume von Colombeau Algebren Fundamentallösungen
Autor*innen
Gudrun Szewieczek
Haupttitel (Englisch)
Solvability of partial differential equations with generalized complex coefficients
Paralleltitel (Deutsch)
Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen mit verallgemeinerten komplexen Koeffizienten
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
VIII, 48 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Günther Hörmann
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,
31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis
AC Nummer
AC10514523
Utheses ID
19411
Studienkennzahl
UA | 405 | | |