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On the existence of shadow price processes in utility maximization

Emanuel Seitinger

Art der Arbeit

Diplomarbeit

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Walter Schachermayer

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DOI

10.25365/thesis.23340

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29065.28183.729569-8

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Im Bereich der Nutzenmaximierung mit Transaktionskosten bezeichnet ein Schattenpreis einen Prozess, der Werte innerhalb des Bid-Ask Spreads annimmt und zum selben maximalen Erwartungsnutzen wie der ursprüngliche Preisprozess mit Transaktionskosten führt. Dieser Begriff kann dafür benutzt werden, das Problem der Nutzenmaximierung mit Transaktionskosten auf den ausführlich erforschten Fall ohne Transaktionskosten zu reduzieren. Es ist jedoch noch recht unklar unter welchen Bedingungen ein solcher Prozess existiert. Das Ziel dieser Arbeit liegt darin, eine Antwort für diese Existenzfrage zu finden. Dazu wird zuerst das Problem der Nutzenmaximierung ohne Transaktionskosten und in diskreter Zeit präsentiert und anhand eines Dualitätsprinzips der konvexen Optimierung gelöst. Dann werden Transaktionskosten zum Modell hinzugefügt und es wird erläutert wie diese Veränderung den Lösungsprozess des Problems der Nutzenmaximierung beeinflusst. Nach dieser Vorbereitung kann der Begriff des Schattenpreises in diskreter Zeit exakt definiert werden. Es wird bewiesen, dass ein Schattenpreis in ein-periodigen Modellen existiert. In mehr-periodigen Modellen kann die Existenz im Allgemeinen fehlschlagen, wie zwei Gegenbeispiele zeigen. Wenn jedoch der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum endlich ist, ist die Existenz garantiert, wofür ein Beweis präsentiert wird. Darüber hinaus werden Verbindungen zur Dualitätstheorie erarbeitet. Dies ermöglicht weitere Einblicke in die Existenz von Schattenpreisen. Der letzte Teil widmet sich der Analyse von Schattenpreisen in stetiger Zeit. Dafür wird ein stetiges Finanzmarktmodell entwickelt und das Problem der Nutzenmaximierung in selbigem definiert. Darauf aufbauend kann die Definition der Schattenpreise in stetiger Zeit erläutert werden. Es werden zwei Existenzresultate vorgestellt. Während das erste notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz liefert, garantiert das zweite, dass ein Schattenpreis immer existiert, wenn das Modell keine Leerverkäufe zulässt.

Abstract

(Englisch)

In utility maximization with transaction costs, a shadow price is a process lying within the bid-ask spread such that it leads to the same optimal utility as the original process with transaction costs. This notion allows to reduce the problem of utility maximization under transaction costs to corresponding problems in the well-studied frictionless case. However, it has remained quite elusive under which conditions such a process exists. The aim of this thesis is to find an answer to this question. To this end, the problem of utility maximization in frictionless markets will be introduced in discrete time and solved by following a dual approach from convex optimization. Then transaction costs are added to the model and it will be elaborated on how this modfication affects the process of solving the utility maximization problem where the emphasis is again placed on duality theory. After this preliminary work, the notion of shadow prices will be introduced in discrete time. It will be proved that a shadow price always exists in one-period models. As regards multi-period models, two counterexamples show that a shadow price may fail to exist in general markets. However, if the underlying financial market is based on a finite probability space, existence is guaranteed and a proof for this assertion will be given. Furthermore, in order to gain additional insights to the existence of shadow prices, connections to duality theory will be presented. The final part is devoted to analyzing the existence of shadow price processes in a continuous time setting. After developing the underlying financial market model and introducing the problem of utility maximization in this framework, the definition of shadow price processes in continuous time will be established. Then, two results regarding their existence will be presented. While the first one states necessary and sufficient conditions for the existence of shadow prices in the case of utility functions with constant relative risk aversion, the second result guarantees the existence if short selling is ruled out.

Autor*innen

Emanuel Seitinger

Haupttitel (Englisch)

On the existence of shadow price processes in utility maximization

Paralleltitel (Deutsch)

Über die Existenz von Schattenpreisen im Problem der Nutzenmaximierung

Publikationsjahr

2012

Umfangsangabe

III, 81 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Walter Schachermayer

Klassifikation

31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung

AC Nummer

AC10668315

Utheses ID

20875

Studienkennzahl

UA | 405 | | |

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