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Connections on the infinite dimensional path bundle of finite dimensional principal fiber bundles
Kurt Fritz
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Andreas Kriegl
DOI
10.25365/thesis.23671
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29486.36344.713053-8
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit beschreibt die Konstruktion des sogenannten Pfadbündels und basiert auf "Ronald O. Fulp: Connections on the path bundle of a principal fiber bundle" und "Andreas Kriegl and Peter W. Michor: The Convenient Setting of Global Analysis". Ausgehend von einem Hauptfaserbündel bestehend aus endlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten werden die Räume aller Abbildungen von einem kompakten Intervall I in diese Mannigfaltigkeiten betrachtet. Diese Abbildungsräume können als unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten modelliert über "convenient vector spaces" betrachtet werden was in Kapitel 1 und Kapitel 2 beschrieben wird. Diese Abbildungsräume werden als Pfadmannigfaltigkeiten bezeichnet.
Diese Konstruktion kann auch für die Lie Gruppe des endlich dimensionalen Hauptfaserbündels durchgeführt werden und man erhält eine unendlich dimensionale Lie Gruppe bestehend aus Pfaden in der endlich dimensionalen Lie Gruppe. Nun ist es möglich die so entstandenen Pfadmannigfaltigkeiten und die Pfad Lie Gruppe zu einem Hauptfaserbündel zusammenzufügen. Dieses aus unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten bestehende Hauptfaserbündel wird als Pfadbündel bezeichnet. Anschließend können kanonische Teilbündel dieses Hauptfaserbündels betrachtet werden.
In Kapitel 3 werden Konnexionen und Konnexionsformen auf dem Pfadbündel definiert. Diese werden verwendet um die Trivialität bestimmter Teilbündel nachzuweisen. Weiters folgt eine Betrachtung wie Konnexionen auf dem endlich dimensionalen Hauptfaserbündel wiederum Konnexionen auf dem Pfadbündel induzieren und welche Eigenschaften diese besitzen.
Kapitel 4 definiert den Begriff der Krümmung auf dem Pfadbündel. Desweiteren werden spezielle Konnexionen definiert. Diese heißen uniforme Konnexionen. Für diese wird ein spezielles, nicht triviales Beispiel konstruiert.
Abstract
(Englisch)
This thesis describes the construction of the so called path bundle and is mainly based on "Ronald O. Fulp: Connections on the path bundle of a principal fiber bundle" and "Andreas Kriegl and Peter W. Michor: The Convenient Setting of Global Analysis". The starting point of the construction is a principal fiber bundle of finite dimensional manifolds. Next one considers the spaces of all mappings from a compact interval I into the base space and the total space of the bundle. These spaces are manifolds modelled over convenient vector spaces as described in Chapter 1 and Chapter 2. They are called manifolds of paths.
Together with the Lie group of all paths in the structure group of the finite dimensional principal fiber bundle, one constructs a principal fiber bundle where the base and total spaces are infinite dimensional manifolds of paths. This is called the path bundle. After that one can consider natural subbundles of the path bundle.
In Chapter 3 connections and connection forms on the path bundle are introduced and used to show the triviality of certain subbundles. Also it is discussed how connections on the finite dimensional principal fiber bundle induce connections on the path bundle and which properties they posses.
Chapter 4 defines curvature on the path bundle. Furthermore as a special type of connections, the uniform ones are introduced together with a non trivial example.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
infinite dimensional manifold connection on manifold principal fiber bundle path bundle path bundle manifold of mappings space of paths connection
Schlagwörter
(Deutsch)
unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit Übertragung auf Mannigfaltigkeit Hauptfaserbündel Pfad Bündel Pfadbündel Abbildungsmannigfaltigkeit Raum der Pfade Konnexion
Autor*innen
Kurt Fritz
Haupttitel (Englisch)
Connections on the infinite dimensional path bundle of finite dimensional principal fiber bundles
Paralleltitel (Deutsch)
Konnexionen auf dem unendlich dimensionalen Pfadbündel von endlich dimensionalen Hauptfaserbündeln
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
88 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Andreas Kriegl
AC Nummer
AC11040783
Utheses ID
21163
Studienkennzahl
UA | 405 | | |