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Deformation quantization and Fedosov construction
Hongyi Chu
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Betreuer*in
Harald Grosse
DOI
10.25365/thesis.24053
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30361.25091.964670-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit besteht aus vier Kapiteln. Im ersten Kapitel diskutieren wir die Methoden und Schwierigkeiten der Quantisierung.
Zur Motivation werden wir zuerst die klassische Mechanik mit der Quantenmechanik vergleichen. Dabei stellt sich heraus, dass die Observablenalgebra das zentrale
Objekt in der klassichen Physik ist.
Nachdem wir den Begriff ``Quantisierung'' präzisiert haben, geben wir die Eigenschaften an, die eine vernünftige Quantisierung erfüllen sollte.
Als Nächstes führen wir das Konzept der Deformationsquantisierung ein und diskutieren über die Möglichkeit ein physikalisches System auf kanonische Weise zu quantisieren.
Wie wir am Ende dieses Kapitels sehen werden, ist dies jedoch durch das Groenewold-van Hove Theorem ausgeschlo\ss en.
Im zweiten Kapitel widmen wir uns der mathematischen Grundlage der Deformationsquantisierung. Nach einer kurzen Erläuterung einiger algebraischer Begriffe,
führen wir das Konzept der Algebradeformation ein und besprechen damit verwandte Begriffe, wie etwa Äquivalenzen und Erweiterungen von Deformationen.
Weiters werden Hochschild-Komplexe sowie Gerstenhaber-Algebren definiert und deren Eigenschaften studiert.
Da wir die Resultate des Hochschild-Kostant-Rosenberg Theorems im letzten Kapitel benötigen werden, wird dessen Beweis schon in diesem Kapitel präsentiert.
Im dritten Kapitel werden wir zuerst einige Definitionen und Resultate aus der Differentialgeometrie kurz wiederholen und dann das Sternprodukt definieren.
Da die Vielzahl der Ordnungen der Grund für die fehlende Eindeutigkeit des Sternprodukts ist, liegt der Fokus dieses Kapitels auf der Beschreibung der t-Ordnung und der $\tilde t$-Ordnung.
Au\ss erdem werden wir in dem Kapitel sehen, dass die bekannten Sternprodukte, wie das Weyl-Moyal Sternprodukt und das Wick Sternprodukt, Spezialfälle
von t- bzw. $\tilde t$-Ordnungen sind.
Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit der Fedosov-Konstruktion. Als Vorbereitung führen wir die sogenannte gemischte Algebra ein, danach definieren wir
die Fedosov-Derivation. Anschließend werden wir auf zwei verschiedenen Arten zeigen, dass diese sogar ein Differential ist.
Der erste Beweis ist konstruktiv und kann für etwaige Berechnungen herangezogen werden.
Danach geben wir noch einen allgemeineren, nichtkonstruktiven Beweis an, der auf homotopischen Überlegungen basiert.
Diese Resultate führen uns zur Definition der Fedosov Taylorreihe, mit dessen Hilfe das Fedosov-Sternprodukt definiert wird.
Eigenschaften und Äquivalenzen der Fedosov-Sternprodukte werden ebenfalls diskutiert.
Am Ende der Diplomarbeit präsentieren wir die grundlegenden Beweisideen des Formalitätstheorem von Kontsevich.
Abstract
(Englisch)
This diploma thesis consists of four chapters. In the first chapter we discuss methods and difficulties of quantization.
As a motivation, we first compare classical mechanics with quantum mechanics where we put special emphasis on the algebra of observables, which is the central object in classical physics.
After clarifying the meaning of quantization, we give reasonable properties a quantization has to satisfy.
Then, we introduce the concept of deformation quantization and we discuss the possibility of quantizing a physical system in a canoncial way.
However, due to Groenewold-van Hove theorem, this is impossible, as we see at the end of the chapter.
The second chapter is devoted to the mathematical theory behind the deformation quantization. After some short algebraic preliminaries we introduce the concept of deformations
of algebras. Then, we discuss related topics such as equivalences and extension of deformations.
Important terminologies, like the Hochschild complex and the Gerstenhaber algebra, are defined and their properties are studied in this chapter.
Since we will need the results of the Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem in the last chapter,
we present its proof here and discuss some of its consequences.
In the third chapter, after recalling some definitions and results of differential geometry, we use the techniques developed in the previous chapters to define a star product.
The ambiguity of star products comes from the different orderings. Therefore, the main focus of this chapter lies on discussing $t$-orderings and $\tilde t$-orderings
and their associated star products.
As we will see in this chapter, many well-known star products such as the Weyl-Moyal star product and the Wick star product are special cases of
$t$-ordered and $\tilde t$-ordered star products.
The last chapter is devoted to the Fedosov construction. As a preparation, we first introduce the so-called mixed algebra and some derivation maps operating on this algebra.
Then, we define the Fedosov derivation and show that it is a differential. At first, we give a constructive proof which can be useful for calculations.
Later, we present a more general, non-constructive proof which is based on homotopical arguments.
These result will lead us to the definition of Fedosov Taylor series which we use to introduce the Fedosov star products.
Properties and equivalences of Fedosov star products are also discussed.
We conclude this diploma thesis by outlining some basic ideas of the proof of Kontsevich's formality theorem.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
deformation quantization symplectic manifold Poisson manifold
Schlagwörter
(Deutsch)
Deformationsquantisierung symplektische Mannigfaltigkeit Poisson-Mannigfaltigkeit
Autor*innen
Hongyi Chu
Haupttitel (Englisch)
Deformation quantization and Fedosov construction
Paralleltitel (Deutsch)
Deformationsquantisierung und Fedosov-Konstruktion
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
90 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Harald Grosse
AC Nummer
AC11061166
Utheses ID
21508
Studienkennzahl
UA | 411 | | |