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PDE models of field-effect sensors

Stefan Andreas Baumgartner

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Clemens Heitzinger

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DOI

10.25365/thesis.24143

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-30400.32714.398761-6

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Die Verwendung von Nanodrähten als biologisch sensitive Feldeffekttransistoren und somit als markierungsfreie Sensoren birgt eine Reihe von vielversprechenden Anwendungen wie zum Beispiel die Detektion von DNA oder, wie kürzlich in Blut nachgewiesen, von Krankheitsmarkern. Doch trotz des enormen experimentellen Entwicklungsfortschrittes und dem Versuch diese Technologie massenproduktionstauglich zu machen, fehlt ein umfassendes quantitatives Verständins, welches nur durch mathematische Modellierung und durch Simulationen erreicht werden kann. Das mathematische Modell muss dabei zweierlei Dinge berücksichtigen: Den Aufbau solcher Sensoren und das Detektionsprinzip. Der Aufbau besteht grundlegend aus einer nichtleitenden Schicht auf der der halbleitende Nanodraht aufgelegt ist. Der Nanodraht selbst ist wiederum mit einer nichtleitenden Schicht überzogen und der ganze Sensor ist einer wässrigen Lösung ausgesetzt, welche die zu detektierenden Moleküle enthält. Um alle geometrischen Eigenheiten des Sensors zu berücksichtigen muss das Modellierungsgebiet als dreidimensional angenommen werden. Die vorkommenden Materialien können dann mit einem System von partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden. Dieses System ist auf der Poisson Gleichung aufgebaut und beinhaltet die Poisson-Boltzmann Gleichung und das Drift-Diffusion-Poisson System. Mit diesen Gleichungen können das elektrostatische Potential und die Ladungsträgerkonzentrationen selbstkonsistent berechnet und somit der Strom durch den Sensor bestimmt werden. Das Detektionsprinzip und somit auch die Sensitivität des Sensors ist von dem, durch den Wechsel der Ladung in einer Grenzschicht, welcher durch die Bindung der zu detektierenden Moleküle an die an der Oberfläche befindlichen Moleküle zu Stande kommt, induzierten, Feldeffekt abhängig. Da diese Moleküle um einige Größenordnungen kleiner sind als die Gesamtgröße des Sensors würde eine herkömmliche Methode zur Lösung des Gleichungssystems, zum Beispiel die finite Volumen Methode, eine sehr feine Auflösung brauchen. Daher ist eine Multiskalenmethode angeraten welche nicht nur das Auflösungsproblem löst sondern gleichzeitig auch den Vorteil mit sich bringt, dass verschiedene Methoden zur Berechnung der Gegenionen in der Grenzschicht verwendet werden können. Nichtsdestotrotz ist das zu lösende lineare System, welches aus der finiten Volumen Methode resultiert, nach wie vor groß. Daher wurde eine Parallelisierungsmethode entwickelt. Parallelisierungsmethoden die auf dem FETI Algorithmus aufbauen haben den Vorteil, dass das Schnittstellenproblem durch Lagrange Multiplikatoren gelöst wird und somit die Sprungbedingungen der Multiskalenmethode in einer intuitiven Art implementiert werden können. Abschließend kann dieses Model dazu benutzt werden, die Sensitivität in Abhängigkeit von geometrischen und physischen Eigenschaften zu optimieren.

Abstract

(Englisch)

Nanowires used as biologically sensitive field-effect transistors (biofets) are promising labelfree sensing devices with a wide range of applications, e.g., the detection of DNA or disease markers, recently even in whole blood. Despite the experimental progress in recent years and the push towards mass fabrication, quantitative understanding of the devices has been missing and hence mathematical modeling and simulation are crucial for physical understanding and optimal sensing. Therefore, a mathematical model has to include two major parts, the structure of such devices and the sensing mechanism. The structure is based on a dielectric bulk layer carrying the semiconducting nanowire. The nanowire itself is covered by a second, thin dielectric layer. The whole dielectric surface is functionalized with probe molecules and is exposed to an aqueous solution containing the target molecules. To capture all geometry properties the model domain needs to be in 3d. The different materials are simulated by a system of partial differential equations based on the Poisson equation consisting of the Poisson-Boltzmann equation and the drift-diffusion-Poisson system. A solution of these equations exists and is locally unique around thermal equilibrium. The electrostatic potential and the charge densities are self-consistently computed and hence the current through the device is obtained. The sensing mechanism and hence the sensitivity of the sensor is based on a field effect induced by a change of the boundary layer charge due to binding of target molecules to probe molecules. Since these molecules are some orders of magnitude smaller than the structure of the nanowire, a usual approach, such as the finite volume method, would need a very fine resolution. Hence a multiscale method is recommended which has the advantage that not only the resolution problem is avoided, it also makes it possible to use various methods for the computation of the concentration of counter ions in the boundary layer. Nonetheless, the resulting linear problem, after discretization with the finite volume scheme, is still large and hence a parallelization technique has been developed. Parallelization techniques based on the FETI method have the advantage that the interface problem is solved by Lagrange multipliers and hence the implementation of the jump conditions from the multiscale method is straightforward. In the end, this model can be used to determine the optimal point of sensitivity regarding the geometry as well as the physical properties of such devices.

Autor*innen

Stefan Andreas Baumgartner

Haupttitel (Englisch)

PDE models of field-effect sensors

Paralleltitel (Deutsch)

PDG Modelle für Feldeffektsensoren

Publikationsjahr

2012

Umfangsangabe

XVI, 93 S. : graph. Darst.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Peter Markowich ,

Christian Ringhofer

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,

31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik ,

31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik ,

33 Physik > 33.72 Halbleiterphysik

AC Nummer

AC11005600

Utheses ID

21588

Studienkennzahl

UA | 791 | 405 | |

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