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Lefschetz numbers of involutions on arithmetic subgroups of inner forms of the special linear group

Steffen Philipp Kionke

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Joachim Schwermer

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DOI

10.25365/thesis.24144

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29950.99699.374769-7

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

In der vorliegenden Arbeit wird eine von J.Rohlfs gefundene Methode zur Berechnung von Lefschetz-Zahlen von Automorphismen endlicher Ordnung in der Kohomologie arithmetischer Gruppen weiterentwickelt. Wir verfeinern seine Methode für die Anwendung auf arithmetische Untergruppen in inneren Formen der speziellen linearen Gruppe. Sei A eine zentral einfache Algebra über einem Zahlkörper F. Die zugehörige Norm-Eins Gruppe G ist eine halbeinfache algebraische Gruppe (definiert über F) und ist außerdem eine innere Form der speziellen linearen Gruppe. Eine Involution i auf A induziert einen Automorphismus i* der Ordnung zwei auf G. In dieser Arbeit untersuchen wir die Lefschetz-Zahlen von Automorphismen der Form i* in der Kohomologie von Hauptkongruenzuntergruppen bezüglich maximaler Ordnungen in A. Der Ansatz dieser Arbeit nutzt die Glattheit der zugrundeliegenden Gruppenschemata und ist besonders für Involutionen vom symplektischen Typ geeignet. Der Hauptsatz dieser Arbeit gibt eine explizite Formel für die Lefschetz-Zahl einer Involution von symplektischen Typ an. Als Anwendungen leiten wir Aussagen zum asymptotischen Verhalten der totalen Betti-Zahl her und wir berechnen die Dimensionen gewisser Räume von Modulformen. Es ist auch möglich die in der Arbeit entwickelten Hilfsmittel auf Involutionen zweiter Art anzuwenden. Wir erläutern dies, indem wir eine explizite Formel für eine Lefschetz-Zahl in der Kohomologie von Bianchi-Kongruenzgruppen berechnen.

Abstract

(Englisch)

In this thesis we refine a method, developed by J.Rohlfs,for the computation of Lefschetz numbers of automorphisms of finite order in the cohomology of arithmetic groups. We adjust his method in order to apply it to arithmetic subgroups of inner forms of the special linear group. Let A be a central simple algebra over an algebraic number field F. The associated norm-one group G is a semisimple algebraic F-group and it is further an inner form of the special linear group. An involution i on A induces an automorphism i* of order two on G. In this thesis we study the Lefschetz numbers of automorphisms of the form i* in the cohomology of principal congruence subgroups associated with maximal O-orders in A, where O denotes the ring of integers of F. The approach presented in this thesis exploits the smoothness properties of the underlying group schemes and is particularly suited to treat the case where i is an involution of symplectic type. The main theorem gives an explicit formula for the Lefschetz number of a specific involution of symplectic type. As an application we obtain statements on the asymptotic behaviour of the total Betti number and we compute the dimensions of certain spaces of modular forms. Further one can apply the tools of this thesis to handle involutions of the second kind. We illustrate this with an explicit formula for a Lefschetz number in the cohomology of Bianchi congruence groups.

Autor*innen

Steffen Philipp Kionke

Haupttitel (Englisch)

Lefschetz numbers of involutions on arithmetic subgroups of inner forms of the special linear group

Paralleltitel (Deutsch)

Lefschetz-Zahlen von Involutionen auf arithmetischen Untergruppen von inneren Formen der speziellen linearen Gruppe

Publikationsjahr

2012

Umfangsangabe

XI, 138 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Joachim Schwermer

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie ,

31 Mathematik > 31.61 Algebraische Topologie

AC Nummer

AC11005636

Utheses ID

21589

Studienkennzahl

UA | 791 | 405 | |

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