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Simulations of quantum spin chains with translationally invariant Matrix Product States
Bogdan Corneliu Pirvu
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Betreuer*in
Frank Verstraete
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29584.69849.150455-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung und Analyse neuer effizienter Algorithmen
zur Simulation stark gekoppelter Quantenspinketten. Unsere Methode beruht auf einer
bestimmten Klasse von Testzuständen, die sich in den letzten Jahren als besonders geeignet für
Variationsrechnungen in diesem Bereich herausgestellt hat, der Klasse der sogenannten Matrix-
Produkt-Zuständen (MPS). Aufgrund ihrer Struktur kann man MPS sehr gut dazu verwenden,
um Zustände mit endlicher Verschränkung darzustellen. Daher sind MPS dafür prädestiniert
um nicht-kritische Systeme akkurat zu simulieren. Bei Quantenphasenübergängen divergiert
die Verschränkung des Grundzustands logarithmisch mit der Systemgröße, sodass am quantenkritischen
Punkt die Präzision von MPS Simulationen erheblich sinkt. Nichtsdestotrotz wird
im Folgenden gezeigt, dass sogar kritische Systeme mittels MPS präzise simuliert werden
können wenn man sie im Rahmen einer geeigneten Skalenanalyse behandelt. Wir werden uns
in dieser Arbeit auf translationsinvariante (TI) Systeme konzentrieren und uns diese Eigenschaft
zugute machen, indem wir translationsinvariante MPS als Grundlage unserer Algorithmen
verwenden werden. Verglichen mit Algorithmen, die nicht-translationsinvariante MPS
verwenden, ist unsere Methode um einen Faktor proportional zur Größe des Systems schneller.
Zunächst behandeln wir unendliche Ketten mit offenen Randbedingungen (OBC) und stellen
einen Algorithmus vor, der basierend auf TI MPS den Grundzustand des Systems mittels Imaginärzeitentwicklung bestimmt. Die Hauptidee bei diesem Zugang besteht darin den Imaginärzeitentwicklungsoperator durch eine Trotter-Zerlegung derart zu approximieren, dass jeder
Faktor als translationsinvarianter Matrix-Produkt-Operator (MPO) dargestellt werden kann.
Diese Methode wird angewendet um die Quanten-Ising und Heisenberg Spin-1/2 Modelle zu
untersuchen, die als Paradebeispiele für stark wechselwirkende Spinketten in allen Kapiteln
dieser Arbeit ausführlich behandelt werden. In Folge werden sowohl einige bislang nicht publizierte
Ergebnisse für den Imaginärzeitentwicklungs-MPO des Bilinear-Biquadratischen Modells
und der Heisenberg Spin-1/2 Leiter als auch ein Beweis dafür vorgestellt, dass der entscheidende
Schritt im MPO-Algorithmus nach gewissen Kriterien optimal ist. In weiterer Folge wird
ein Algorithmus für die Approximation des Grundzustandes endlicher Ketten mit periodischen
Randbedingungen (PBC) eingeführt. Wie im OBC Fall wird wieder ein translationsinvarianter
Ansatz verwendet, um den Rechenaufwand der Simulation zu reduzieren. Es wird gezeigt,
dass für kritische Systeme mit PBC, in Vergleich zu Systemen mit OBC, der Rechenaufwand
einen zusützlichen Faktor beinhaltet. Es folgt eine ausführliche Analyse der Ergebnisse von
Simulationen einiger kritischer Systeme mit PBC. Diese Analyse zeigt die Entstehung unterschiedlicher
Bereiche in MPS Simulationen: den “Finite-Size Scaling” (FSS) und den “Finite-Entanglement Scaling” (FSS) Bereich. Im Rahmen dieser Untersuchung zeigt sich, um kritische
Systeme wahrheitsgetreu simulieren zu können, müssen die MPS derart gewählt werden, dass sie sich im FSS Bereich befinden. Schließlich wird ein Algorithmus für die Approximation
angeregter Zustände von Quantenspinketten mit PBC vorgestellt, der als Grundlage
einen translationsinvarianten MPS Ansatz für Impulseigenzustände verwendet. Ein Vergleich
der Ergebnisse unserer Simulationen mit den analytischen Lösungen bestätigt, dass besonders
Einteilchenzustände mit diesem Ansatz sehr gut approximert werden können. Im Appendix
wird die analytische Lösung für die Berechnung des gesamten Spektrums des Quanten-Ising Modells mit PBC vorgestellt. Obwohl diese Lösung schon länger bekannt ist, führen wir in
unserer Darstellung einige Aspekte an, die wir in der Fachliteratur nicht finden konnten.
Abstract
(Englisch)
This thesis is mainly concerned with the development and analysis of new efficient algorithms
for the simulation of strongly correlated quantum spin chains. To this end we are using a special
class of variational states that has received increased attention recently: Matrix Product
States (MPS). MPS are particularly well suited to represent states with a finite amount of entanglement
thus they can be used to simulate non-critical systems with very good accuracy.
When a system undergoes a quantum phase transition the entanglement entropy diverges logarithmically
with the system size thus the precision of MPS simulations suffers at a quantum
critical point. Nevertheless we are able to show that by applying the correct scaling analysis,
MPS can also be used to simulate critical systems faithfully. We focus here on translationally
invariant systems and exploit this property by using translationally invariant MPS in our algorithms.
Compared with algorithms that use non-translationally invariant MPS, this approach
yields a computational speed-up proportional to the size of the system. We start by developing
an algorithm for obtaining the ground state of infinite chains with open boundary conditions
(OBC) by means of imaginary time evolution. The main idea here is to approximate the imaginary
time evolution operator using a Trotter expansion in such a way that every factor can
be represented by a translationally invariant Matrix Product Operator (MPO). We apply this
method to the Quantum Ising model and to the Heisenberg spin-1/2 chain, which are the main
two paradigmatic models studied thoroughly throughout the entire thesis. We then continue
by presenting some unpublished results regarding the MPO for the imaginary time evolution
operator of the Bilinear-Biquadratic model and of the Heisenberg spin-1/2 ladder. Furthermore
we give an unpublished proof of the fact that the crucial step in the MPO based algorithm is in
some sense optimal. We then proceed with an algorithm for the computation of ground states of
finite chains with periodic boundary conditions (PBC) that again exploits translational invariance
in order to reduce the computational cost. We show that in the case of critical systems, the
scaling of the computational cost of faithful PBC simulations contains an additional factor in
comparison to that of OBC simulations. Next we provide an in-depth analysis of a large number
of simulations of critical systems with PBC that shows the emergence of different regimes
for MPS simulations: the finite size scaling (FSS) regime and the finite entanglement scaling
(FES) regime. It turns out that in order to faithfully simulate critical systems, one must choose
the MPS in such a way that it is always in the FSS regime. Finally we present an algorithm for
the approximation of excited states of quantum spin chains with PBC that is based on a translationally
invariant MPS ansatz with well defined momentum. A comparison of the obtained
numerical results with the available analytical solutions confirms that this ansatz is particularly
well suited for the approximation of one-particle states. In the appendix of this thesis we give
a detailed analytical derivation of the spectrum of the Quantum Ising model with PBC. While this derivation has been known for several decades we believe it has some pedagogical value
since we emphasize several aspects that we have not found in any other previous publications.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Quantum spin chains Matrix Product States Quantum Ising Model Heisenberg Model
Schlagwörter
(Deutsch)
Quantenspinketten Matrix-Produkt-Zustände Quanten-Isingmodell Heisenberg Modell
Autor*innen
Bogdan Corneliu Pirvu
Haupttitel (Englisch)
Simulations of quantum spin chains with translationally invariant Matrix Product States
Paralleltitel (Deutsch)
Simulationen von Quantenspinketten mit Translationsinvarianten Matrix-Produkt-Zuständen
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
153 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Ulrich Schollwöck ,
Wolfgang Dür
AC Nummer
AC10847361
Utheses ID
23580
Studienkennzahl
UA | 091 | 411 | |