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Holomorphic maps between rings of power series
Sebastian Woblistin
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Bernhard Lamel
DOI
10.25365/thesis.27675
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29735.07393.915354-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit besch\"{a}ftigt sich mit holomorphen Funktionen $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}$, wobei $\Os_{d}$ f\"ur den Ring konvergenter Potenzreihen in $d$ Variablen stehe. In den ersten beiden Kapiteln werden die hierf\"ur notwendigen Konzepte aus Funktionalanalysis und Topologie erarbeitet. Die Darstellung $\Os_{d} = \bigcup_{S \in \R_{+}^{d}} \ell^{\infty}(S)$ ergibt eine nat\"urliche Topologisierung von $\Os_{d}$ als induktiven Limes, wobei $\ell^{\infty}(S)$ der Banachraum aller Potenzreihen $\sum c_{\alpha} x^{\alpha}$ ist, f\"ur welche die gewichtete Supremumsnorm $\sup_{\alpha \in \N^{d}} \vert c_{\alpha} S^{\alpha} \vert$ endlich ist. Es zeigt sich, dass $\Os_{d}$ mit dieser Topologie ein (DFS)-Raum wird. R\"aume dieser Klasse erscheinen als besonders geeigneter Rahmen f\"ur die Verwendung von Konzepten unendlichdimensionaler Analysis, da hier verschiedene Zug\"ange \"ubereinstimmen und glatte Funktionen stetig sind, was im Allgemeinen falsch ist. In Kapitel drei wird ein kurzer \"Uberblick \"uber zwei Konzepte holomorpher Funktionen zwischen lokalkonvexen R\"aumen geschaffen. In Kapitel vier wird dann speziell auf $\Os_{d}$ eingegangen, und ein Resultat von Boland und Dineen, wonach jede holomorphe Funktion $\Os_{d}^{p} \to \C$ in eine Taylorreihe bestehend aus Monomen entwickelt werden kann, auf holomorphe Funktionen $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}$ verallgemeinert. Im letzten Kapitel wird dann eine Klasse holomorpher Funktionen, deren Koeffizienten eine \"ahnliche Struktur wie jene von Substitutionsabbildungen $\phi(x) \mapsto F(x,\phi(x))$ besitzen, betrachtet. Zun\"achst werden Abbildungen dieser Klasse, welche den konstanten Term $\phi(0)$ ignorieren -- die wir als textile Abbildungen bezeichnen -- untersucht. Diese zeigen ein \"ahnliches Verhalten wie lineare Abbildungen zwischen normierten R\"aumen: sie sind stetig genau dann wenn sie auf einer "Kugel" beschr\"ankt sind und die selbe Bedingung ist hinreichend daf\"ur, dass Abbildungen dieser Klasse ganze Funktionen sind. Ausgestattet mit der kompakt-offenen Topologie wird der Raum dieser Abbildungen zu einem (DFS)-Raum. Diese Resultate werden dann auf allgemeinere Klassen ausgeweitet. Im letzten Teil dieses Kapitels betrachten wir die Differentialgleichung $\delta_{t} u(x,t) = F(u(x,t))$, wobei $F$ eine verallgemeinerte textile Abbildung ist. Es wird gezeigt, dass diese bei analytischer Anfangsbedingung analytisch l\"osbar ist. Dieses Resultat kann so interpretiert werden, dass die Differentialgleichung $\delta_{t} u(x,t) = F(x,u(x,t))$ analytisch l\"osbar bleibt, wenn die Koeffizienten der rechten Seite (aufgefasst als holomorphe Abbildung $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}^{p})$ stetig perturbiert werden.
Abstract
(Englisch)
This thesis deals with holomorphic functions $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}$, where $\Os_{d}$ denotes the ring of convergent power series in $d$ variables. In the first two chapters the necessary concepts from functional analysis and topology are developed.
The representation of $\Os_{d}$ as union $\bigcup_{S \in \R_{+}^{d}} \ell^{\infty}(S)$ of weighted Banach spaces yields a natural inductive topology, where $\ell^{\infty}(S)$ is the Banach space of power series for which $\sup_{\alpha \in \N^{d}} \vert c_{\alpha} S^{\alpha} \vert $ is finite. It turns out that $\Os_{d}$ is a (DFS)-space, which seems to be the best setting for the usage of concepts of infinite-dimensional calculus, as different approaches coincide and smooth functions are always continuous, which is in general false. In chapter three we give an overview of two concepts of holomorphicity. Chapter four then specifically deals with $\Os_{d}$ and the holomorphic functions on it. We extend the result by Dineen and Boland, that holomorphic functions $\Os_{d} \to \C$ can be expanded into monomial series, to the vector-valued case $\Os_{d} \to \Os_{d}$ and establish some results on the space $(\mathcal{H}(\Os_{d}^{p}, \Os_{d}),\tauco)$. The last chapter treats a special class of holomorphic functions $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}$, whose Taylor coefficients have a similar structure as those of substitution maps\\ $\phi(x) \mapsto F(x,\phi(x))$. We start by studying such maps that ignore the constant term $\phi(0)$ -- which we call textile maps -- which behave similar to linear maps in normed spaces: they are continuous if and only if they preserve the boundedness of a "ball". The same condition also implies that maps of this class are entire functions. It is then shown that the space of these maps equipped with the compact-open topology is a (DFS)-space and the results established before are then generalized to broader classes. Finally we turn our attention to the differential equation $\delta_{t} u(x,t) = F(u(x,t))$, where the right side is a generalized textile map, and show that it is analytically solvable for analytical initial conditions. A consequence of this result is that $\delta_{t}u(x,t) = F(x,u(x,t))$ (where $F$ is a convergent power series) remains analytically solvable if the coefficients of the right side (considered as a holomorphic function $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}^{p}$) are continuously perturbated.
%Finally we turn our attention to the differential equation $\delta_{t} u(x,t) = F(u(x,t))$, where the right side is a generalized textile map, and show that it is analytically solvable for analytical initial conditions.
%This result can be interpreted in the way that $\delta_{t}u(x,t) = F(x,u(x,t))$ remains analytically solvable if the coefficients of the right side (considered as a holomorphic function $\Os_{d}^{p} \to \Os_{d}^{p}$) are continuously perturbated.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
functional analysis inductive limits infinite-dimensional analysis infinite-dimensional holomorphy spaces of convergent power series DFS-spaces textile maps non-linear functional analysis topology
Schlagwörter
(Deutsch)
Funktionalanalysis Indukitive Limiten Unendlichdimensionale Analysis Unendlichdimensionale Holomorphie Räume konvergenter Potenzreihen DFS-Räume textile Abbildungen nichtlineare Funktionalanalysis Topologie
Autor*innen
Sebastian Woblistin
Haupttitel (Englisch)
Holomorphic maps between rings of power series
Paralleltitel (Deutsch)
Holomorphe Abbildungen zwischen Ringen konvergenter Potenzreihen
Publikationsjahr
2012
Umfangsangabe
III, 91 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Bernhard Lamel
AC Nummer
AC11100868
Utheses ID
24729
Studienkennzahl
UA | 405 | | |