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A geometric construction of characteristic classes
Lorenz Leditzky
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Andreas Kriegl
DOI
10.25365/thesis.27795
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29497.80545.624262-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Wir geben eine geometrische Konstruktion von charakteristischen Klassen an, den Stiefel-Whitney Klassen für reelle Vektorbündel und den Chern Klassen für komplexe Vektorbündel. Dazu betrachten wir das triviale Bündel von Rang n-i+1, ein glattes Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M und einen generischen Vektorbündelhomomorphismus h zwischen ihnen. Die Menge von Punkten, wo h nicht injektiv ist, ist das Bild einer bestimmten Projektion \phi:\tilde{Z}(h)\rightarrow M, wobei \tilde{Z}(h) eine kompakte, K_b-orientierte, differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Wir kombinieren den von \phi in der Homologie induzierten Morphismus mit dem Poincaré Dualitätsisomorphismus und definieren das Bild der Fundamentalklasse von \tilde{Z}(h) unter dieser Zusammensetzung als die i-te charakteristische Klasse von \xi. Dann zeigen wir, dass diese Klassen der axiomatischen Definition von Stiefel-Whitney Klassen und Chern Klassen, die Hirzebruch gegeben hat, genügen; sie sind daher wohldefiniert und eindeutig. Schließlich verallgemeinern wir die Definition auf abzählbare Vektorbündel.
Abstract
(Englisch)
We give a geometric construction of characteristic classes, the Stiefel-Whitney classes for real vector bundles and the Chern classes for complex vector bundles. To achieve this, we consider the trivial bundle of rank n-i+1, a smooth vector bundle over a differentiable manifold M, and a generic vector bundle morphism h between them. The singularity subsets of h are the image of a suitable projection map \phi:\tilde{Z}(h)\rightarrow M, where \tilde{Z}(h) is a compact, K_b-oriented, differentiable manifold. We look at the image of the fundamental class of \tilde{Z}(h) under the composite of the homological map induced by \phi and the Poincaré duality isomorphism and define it as the ith characteristic class of the bundle. We show equality of these classes with the axiomatic definition of the Stiefel-Whitney and Chern classes respectively given by Hirzebruch; hence, they are well-defined and unique. Finally, we generalise the definition to numerable vector bundles.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Characteristic class Grassmann manifolds Generic vector bundle homomorphism
Schlagwörter
(Deutsch)
Charakteristische Klasse Grassmann-Bündel Generischer Vektorbündelhomomorphismus
Autor*innen
Lorenz Leditzky
Haupttitel (Englisch)
A geometric construction of characteristic classes
Paralleltitel (Deutsch)
Eine geometrische Konstruktion charakteristischer Klassen
Publikationsjahr
2013
Umfangsangabe
V, 101 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Andreas Kriegl
AC Nummer
AC11100671
Utheses ID
24836
Studienkennzahl
UA | 405 | | |