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Theory and implementation of adaptive time-frequency transforms
Nicki Holighaus
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Hans Georg Feichtinger
DOI
10.25365/thesis.31291
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29423.60077.597961-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Dissertation hat die Darlegung und Erweiterung moderner Methoden zur angewandten, mathematischen Zeit-Frequenz Analyse zum Ziel. Zu diesem Zweck betrachten wir, aufbauend auf Grundlagen der Frametheorie, zwei unterschiedliche Ansätze für flexible Zeit-Frequenz Darstellungen, sowie deren Eigenschaften und effiziente Implementierung. Zunächst widmen wir uns der Aufarbeitung der notwendigen, zugrundeliegenden mathematischen Theorie, gefolgt von der Entwicklung effizienter Verfahren zur Berechnung und Invertierung von diskreten Gabortransformationen auf allgemeinen, nichtseparablen Gittern. Wir beginnen dabei mit einer eleganten, eindeutigen Darstellung zweidimensionaler Gitter durch drei leicht verständliche Parameter. Ausgehend von dieser Darstellung können wir nicht nur die Anzahl der möglichen Gitter, oder derer mit einer bestimmten Kardinalität, für eine bestimmte Signallänge bestimmen, sondern auch jedes nichtseparable Gitter leicht als Vereinigung rechteckiger Gitter oder geometrische Transformation eines Solchen beschreiben. Dies wiederum ermöglicht die Verwendung existierender, optimierter Algorithmen für Gabortransformationen auf Rechtecksgittern für die Berechnung auf beliebigen Gittern. Im zweiten Teil der Dissertationsschrift entwickeln wir eine Theorie nichtstationärer Gabortransformationen. Diese nichtstationären Systeme erlauben die Veränderung der Fensterfunktion und Abtastdichte entlang der Zeit- oder Frequenzachse. Wir untersuchen die Struktur solcher Systeme und der zugehörigen Frameoperatoren. Unter Anderem betrachten wir hinreichende und notwendige Kriterien, so dass ein nichtstationäres Gaborsystem ein Frame ist und damit stabile Rekonstruktion aus den Framekoeffizienten erlaubt. Eine diskrete Variante des Konzepts nichtstationärer Gaborsysteme erlaubt uns die numerische Implementierung. Wir beschreiben sowohl iterative, als auch direkte Methoden zur effizienten Rekonstruktion und einige Beispielimplementierungen zeit- bzw. frequenzadaptiver Systeme im Detail. Die vorgestellten Verfahren sind verfügbar als MATLAB Toolbox, welche der Dissertation beiliegt, bzw. als Teil der frei erhältlichen LTFAT Zeit-Frequenz Toolbox für MATLAB/octave.
Abstract
(Englisch)
The thesis at hand has the goal of presenting and extending modern methods of applied, mathematical time-frequency analysis. To this end, we investigate two different types of flexible time-frequency representations, their properties and efficient implementation. Our approach builds on the underlying concepts of frames to construct stable and invertible systems of time-frequency atoms. Firstly, we recall some fundamental mathematical theory that is required for the presentation of our results. This is followed by a section that develops efficient methods for computation and inversion of discrete Gabor transforms on arbitrary, nonseparable lattices. We start from an elegant, unique representation of two dimensional lattices by means of three intuitively meaningful parameters. From this representation, we can easily determine the number of all possible lattices, or those of a particular cardinality, for a given signal length. Furthermore, it allows the straightforward description of any lattice as either a union of rectangular lattices or a geometric transformation of a single rectangular lattice. This in turn enables the use of preexisting, optimized algorithms designed for rectangularly sampled Gabor transforms for computations on arbitrary lattices. In the second part, we develop a theory of nonstationary Gabor transforms. These nonstationary systems admit the variation of both the window function and the sampling density along either the time or the frequency axis. We investigate the structure of this type of system and their associated frame operators. Among other results, we determine sufficient and necessary conditions for a nonstationary Gabor system to form a frame and therefore allow for stable reconstruction from the frame coefficients. A discrete variant of nonstationary Gabor systems can be used for discrete signals and numerical implementation. We describe in detail both iterative and direct approaches at efficient reconstruction as well as several exemplary implementations of time- or frequency-adaptive systems. The presented techniques are available as MATLAB toolbox, supplied with the thesis, or in case of Gabor systems on arbitrary lattices, as part of the open source time-frequency toolbox LTFAT for MATLAB/octave.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
time-frequency frames Gabor analysis adaptive transforms group lattices algorithms
Schlagwörter
(Deutsch)
Zeit-Frequenz Frames Gabor analysis adaptive Transformationen Gitter Algorithmen
Autor*innen
Nicki Holighaus
Haupttitel (Englisch)
Theory and implementation of adaptive time-frequency transforms
Paralleltitel (Deutsch)
Theorie und Implementierung adaptiver Zeit-Frequenztransformationen
Publikationsjahr
2013
Umfangsangabe
XII, 222 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Ole Christensen ,
Thomas Strohmer
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC11332446
Utheses ID
27824
Studienkennzahl
UA | 791 | 405 | |