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Additive generation of rings by units with particular reference to Dedekind domains
Thomas Blank
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Joachim Mahnkopf
DOI
10.25365/thesis.31905
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29349.33640.458866-8
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Einheitensummenzahl $u(S)$ eines Ringes $S$ ist definiert als
\[ u(S) = \begin{cases}
k & S \textrm{ ist $k$-gut, aber nicht $j$-gut f\"ur alle $j<k$ mit} j,k \in \N \\
\omega & S \textrm{ ist nicht $k$-good f\"ur irgendein } k \in \N, \\
& \textrm{aber jedes Element ist endliche Summe von Einheiten}\\
\infty & \textrm{es gibt ein Element aus $S$, das nicht endliche Summe von Einheiten ist}
\end{cases} , \]
wobei der Ring $S$ $k$-gut genannt wird, falls jedes Element in $S$ als Summe von genau $k$ Einheiten in $S$ geschrieben werden kann.
Die vorliegende Arbeit besch\"aftigt sich mit den Hauptresultaten hinsichtlich ge\-wisser Klassen von Ringen in Bezug auf deren Einheitensummenzahl. Es wird gezeigt, dass Matrizen eine Einheitensummenzahl $\leq 3$ aufweisen. Der Fall nicht-kommutativer, semilokaler Ringe wird unter Zuhilfenahme des Struktursatzes von Artin-Wedderburn vollst\"andig behandelt. Bez\"uglich Dedekindringen $\o$ werden wir ein tiefliegendes Re\-sul\-tat von V\'amos and Wiegand \"uber einen \"uberraschenden Zusammenhang zwischen der Einheitensummenzahl von Matrizenringen \"uber $\o$ und der Klassenzahl von $\o$ herstellen. Danach werden wir eine Abhandlung betreffs k\"urzlich erschienener Er\-geb\-nisse von Jarden und Narkiewicz \"uber Ganzheitsringe bearbeiten.
Abstract
(Englisch)
The unit sum number $u(S)$ of a ring $S$ is defined as
\defUnitSumNumber ,
where we say the ring $S$ is $k$-good, if every element in $S$ can be written as a sum of exactly $k$ units in S.
The thesis deals with the major results regarding specific classes of rings aiming to determine their unit sum number. It is proved that for matrix rings the unit sum number does not exceed three. The case of non-commutative, semilocal rings is completely treated by virtue of the Artin-Wedderburn structure theorem. With respect to Dedekind domains $\o$, we establish a deep result by V\'amos and Wiegand about an astonishing connection between the unit sum number of matrix rings over $\o$ and the class number of $\o$. Hereafter, an account of Jarden and Narkiewicz's recent result about algebraic rings of integers is given.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Algebra Algebraic number theory non-commutative algebra modules matrices
Schlagwörter
(Deutsch)
Algebra Algebraische Zahlentheorie nicht-kommutative Algebra Moduln Matrizen
Autor*innen
Thomas Blank
Haupttitel (Englisch)
Additive generation of rings by units with particular reference to Dedekind domains
Paralleltitel (Deutsch)
Additiv von Einheiten erzeugte Ringe unter besonderer Berücksichtung von Dedekindringen
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
88 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Joachim Mahnkopf
Klassifikation
31 Mathematik > 31.20 Algebra: Allgemeines
AC Nummer
AC11698285
Utheses ID
28368
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |