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Exponential laws for classes of Denjoy-Carleman differentiable mappings

Gerhard Schindl

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Betreuer*in

Andreas Kriegl

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DOI

10.25365/thesis.32755

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-30235.52697.102769-4

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Räume sogenannter ''ultra-differenzierbarer Funktionen'' sind spezielle Teilklassen aller glatten Funktionen $\mathcal{E}$, deren Ableitungen alle gewisse Wachstumseigenschaften erfüllen. Solche Klassen werden in der Literatur entweder durch eine Gewichtsfolge $M=(M_p)_p$ oder durch eine Gewichtsfunktion $\omega$ definiert und man kann immer zwischen dem {\itshape Roumieu-Typ} $\mathcal{E}_{\{M\}}$ bzw. $\mathcal{E}_{\{\omega\}}$ und dem {\itshape Beurling-Typ} $\mathcal{E}_{(M)}$ bzw. $\mathcal{E}_{(\omega)}$ unterscheiden. In \cite{KMRc}, \cite{KMRq} und schließlich in \cite{KMRplot} ist es meinem Betreuer {\itshape A. Kriegl}, {\itshape A. Rainer} und {\itshape P. W. Michor} gemeinsam gelungen, ein sogenanntes ''convenient setting'' für ultra-differenzierbare Funktionenklassen zu entwickeln, welche mittels bestimmter Gewichtsfolgen $M$ definiert sind. Zuerst haben sie die wichtigen Resultate der Klasse aller glatten Funktionen in \cite{KM97} auf nicht-quasi-analytische Klassen vom Roumieu-Typ übertragen, im zweiten Paper auf bestimmte quasi-analytische Klassen vom Roumieu-Typ (welche eine Darstellung als Durchschnitt nicht-quasi-analytischer Klassen besitzen). Schließlich ist es ihnen im dritten Paper gelungen, die Resultate auf den allgemeinen Fall zu übertragen: Auf Klassen ultra-differenzierbarer Funktionen vom Roumieu- und vom Beurling-Typ, welche sowohl quasi- als auch nicht-quasi-analytisch sind. Das Hauptziel dieser Arbeit ist es gewesen, all diese Ergebnisse und Beweise auch auf andere Klassen ultra-differenzierbarer Funktionen zu übertragen bzw. zu verallgemeinern. Wir werden das ''convenient setting'' auf Klassen $\mathcal{E}_{\{\mathcal{M}\}}$ bzw. $\mathcal{E}_{(\mathcal{M})}$ übertragen, welche mittels einer sogennanten Gewichts-Matrix $\mathcal{M}$ definiert werden. Verwendet man nämlich diese Notation so kann man sowohl Klassen welche über eine Folge $M$ als auch über eine Funktion $\omega$ definiert werden gleichzeitig beschreiben. Wir geben nun einen kurzen strukturellen Überblick über die vorliegende Arbeit: Zu Beginn, nachdem wir die wichtigsten (bekannten) Definitionen und Eigenschaften wiederholen, werden wir systematisch die wichtigen Bedingungen für eine Gewichtsfunktion $\omega$ untersuchen. Danach werden wir eine neue Methodik und die zentrale neue Idee in dieser Arbeit studieren: Zu jeder Gewichtsfunktion $\omega$ können wir eine Gewichtsmatrix $\mathcal{M}=\{M^l: l>0\}$ konstruieren, also eine Familie von Gewichtsfolgen mit einem Parameter $l>0$. Mit Hilfe dieses neuen Konzepts und der Folgen $M^l$ werden wir neue Versionen von Vergleichsresultaten bzw. neue Darstellungen für die Klassen $\mathcal{E}_{\{\omega\}}$ und $\mathcal{E}_{(\omega)}$ beweisen, mit der folgenden Konsequenz: Man kann nun Klassen ultra-differenzierbarer Funktionen abstrakt mittels einer Gewichtsmatrix $\mathcal{M}$ definieren, und dann ist diese neue Definition eine gemeinsame Verallgemeinerung der Definition durch eine Gewichtsfunktion $\omega$ und durch eine (einzelne) Gewichtsfolge $M$. Aber wir werden zeigen, dass mittels dieser neuen Methode auch neue Klassen beschrieben werden können, welche weder durch eine einzelne Folge $M$ noch durch eine Funktion $\omega$ beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden wir Eigenschaften von Gewichts-Matrizen $\mathcal{M}$ einführen und diese sowie die Eigenschaften und neue Phänomene der neuen Klassen $\mathcal{E}_{\{\mathcal{M}\}}$ bzw. $\mathcal{E}_{(\mathcal{M})}$ genau studieren. Weiters werden wir die Abgeschlossenheit unter Komposition und einige weitere wichtige Stabilitätseigenschaften der Klassen $\mathcal{E}_{\{\mathcal{M}\}}$ bzw. $\mathcal{E}_{(\mathcal{M})}$ durch Eigenschaften der Gewichts-Matrix $\mathcal{M}$ charakterisieren. Mit dieser entwickelten Theorie und mit Hilfe von {\itshape Diagonalargumenten} können wir nun die Resultate von \cite{KMRc}, \cite{KMRq} und \cite{KMRplot} auf diese neue Situation verallgemeinern, wo die Klassen ultra-differenzierbarer Funktionen durch eine Gewichts-Matrix $\mathcal{M}$ definiert sind. Der Autor dieser Arbeit wurde durch das FWF-Projekt P23028-N13, mit dem Titel ''Exponential Laws for Classes of Denjoy-Carleman Differentiable Mappings'', finanziert.

Abstract

(Englisch)

Spaces of so-called ''ultra-differentiable functions'' are special sub-classes of all smooth functions $\mathcal{E}$ with certain growing conditions on all their derivatives. Such classes are usually defined by using either weight sequences $M=(M_p)_p$ or a weight functions $\omega$ and one can distinguish between classes of {\itshape Roumieu-type} $\mathcal{E}_{\{M\}}$ resp. $\mathcal{E}_{\{\omega\}}$ and of {\itshape Beurling-type} $\mathcal{E}_{(M)}$ resp. $\mathcal{E}_{(\omega)}$. In \cite{KMRc}, \cite{KMRq} and finally in \cite{KMRplot} my PhD-Advisor {\itshape A. Kriegl}, {\itshape A. Rainer} and {\itshape P. W. Michor} were able to introduce a ''convenient setting'' for ultradifferentiable classes defined by certain weight sequences $M$: More precisely they succeeded to transfer the results from \cite{KM97} for the smooth case first to non-quasi-analytic classes of Roumieu-type, in the second paper to certain quasi-analytic classes of Roumieu-type (which can be written as intersection of non-quasi-analytic classes), and finally in the third paper to the general case, i.e. to both non-quasi- and quasi-analytic classes of Roumieu- and Beurling-type. The main goal of this PhD-Thesis is to extend and generalize these results and notations to other classes of ultradifferentiable functions. More precisely we will extend them to classes $\mathcal{E}_{\{\mathcal{M}\}}$ resp. $\mathcal{E}_{(\mathcal{M})}$ defined by a weight matrix $\mathcal{M}$, and as particular cases one can describe the classes defined by $\omega$ or by a (single) sequence $M$ simultaneously. We give now a brief summary of the structure of this PhD-Thesis: First, after introducing and recalling important definitions and conditions, we will study systematically several properties for a weight function $\omega$ in detail. After that, we are going to study the most important technique and new idea in this work: To each $\omega$ we can associate a weight matrix $\mathcal{M}=\{M^l: l>0\}$, i.e. a family of weight sequences with parameter $l>0$. We will prove new versions of a comparison theorem resp. new representations for $\mathcal{E}_{\{\omega\}}$ and $\mathcal{E}_{(\omega)}$ by using these sequences $M^l$ with the following consequence: We can define now classes of ultra-diff. functions by using a weight matrix $\mathcal{M}$ abstractly, and then this definition is a common generalization of defining them by using $\omega$ or a (single) sequence $M$. But we will also show that by using $\mathcal{M}$ one can describe in fact really new classes which can neither be described by a sequence $M$ nor by a function $\omega$. In the next step we introduce several new conditions on $\mathcal{M}$ and study the behavior and properties of these new classes $\mathcal{E}_{\{\mathcal{M}\}}$ resp. $\mathcal{E}_{(\mathcal{M})}$ in detail. Moreover we will characterize closedness under composition and some further stability properties of $\mathcal{E}_{\{\mathcal{M}\}}$ resp. $\mathcal{E}_{(\mathcal{M})}$ in terms of conditions on the weight matrix $\mathcal{M}$. Using these tools together with {\itshape diagonal techniques} we are able to extend the results of \cite{KMRc}, \cite{KMRq} and \cite{KMRplot} to this much more general situation, where the classes are defined by a weight matrix $\mathcal{M}$. The author of this PhD-Thesis was supported by FWF-project P23028-N13, with title ''Exponential Laws for Classes of Denjoy-Carleman Differentiable Mappings''.

Autor*innen

Gerhard Schindl

Haupttitel (Englisch)

Exponential laws for classes of Denjoy-Carleman differentiable mappings

Paralleltitel (Deutsch)

Exponentialgesetze für Klassen von Denjoy-Carleman differenzierbaren Funktionen

Publikationsjahr

2013

Umfangsangabe

279 S.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Peter Michor ,

José Bonet Solves

Klassifikation

31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis

AC Nummer

AC11695425

Utheses ID

29088

Studienkennzahl

UA | 791 | 405 | |

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