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The WKB approximation, harmonic maps to buildings and spectral networks
Alexander Noll
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Ludmil Katzarkov
DOI
10.25365/thesis.32843
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29143.23904.807664-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel der vorliegenden Arbeit is es, eine Beziehung zwischen den asymptotischen
Eigenschaften des Riemann-Hilbert Problems und harmonischen Abbildungen
der zu Grunde liegenden Mannigfaltigkeit in Euklidische Gebäude zu finden.
Dabei wird das Konzept des zu einer spektralen Überlagerung gehörenden versalen
Gebäudes eingeführt. Viele interessante geometrische Eigenschaften der spektrale Überlagerung können von der harmonischen Abbildung in dieses Gebäude abgelesen werden; insbesondere wird in dieser Arbeit argumentiert, dass das Bild des spektralen Netzwerks in den Singularitäten dieses Gebäudes enthalten ist.
Die beiden Hauptvermutungen in dieser Arbeit sind die folgenden: (1) das versale
Gebäude existiert und die Metrik darauf bestimmt die Asymptotik der Riemann-
Hilbert Korrespondenz; (2) von der harmonischen Abbildung in das versale Gebäude
kann eine dreidimensionale Calabi-Yau Kategorie konstruiert werden, sodass die
Hitchin Basis eine Teilmannigfaltigkeit des Raums der Stabilitätsbedingungen auf
dieser ist. Ein Algorithmus, diese Kategorie zu konstruieren, wird für lokal endliche
spektral Netzwerke beschrieben.
Die Hauptresultate sind die folgenden: (1) Ein universelles Gebäude existiert für
ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das von Berk, Nevin und
Roberts betrachtet wurde; (2) das versale Gebäude existiert für ein weiteres, komplizierteres Beispiel; (3) der Algorithmus zur Konstruktion der Kategorie wird in
zwei Beispielen angewandt und ein Zusammenhang zum versalen Gebäude wird
hergestellt.
Abstract
(Englisch)
The main goal of this thesis is to find a relation between the Riemann-Hilbert
WKB problem and harmonic maps from the underlying manifold to Euclidean
buildings. The notion of a versal building associated to a spectral cover is introduced.
The harmonic map from a Riemann surface to this building encodes many
aspects of the geometry of the spectral cover; in particular the spectral network is
mapped to the singularities of the versal building.
There are two main conjectures in this thesis: (1) the versal building exists and
the metric on this building controls the asymptotic of the Riemann-Hilbert correspondence;
(2) the harmonic map to this building encodes the data to construct
a 3d Calabi-Yau category such that the Hitchin base is a submanifold of its space
of stability conditions. An algorithm to construct this category is provided for
locally finite spectral networks.
The main results are: (1) the existence of the universal building for a system of
ODEs considered by Berk-Nevin-Roberts is established; (2) a versal building exists
for a further, more complicated example; (3) the algorithm to construct the
categories is applied in these examples and a relation to buildings is conjectured.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Mathematical Physics Algebraic Geometry Asymptotic Analysis
Schlagwörter
(Deutsch)
Mathematische Physik Algebraische Geometrie Asymptotische Analysis
Autor*innen
Alexander Noll
Haupttitel (Englisch)
The WKB approximation, harmonic maps to buildings and spectral networks
Paralleltitel (Deutsch)
Die WKB-Näherung, harmonische Abbildungen in Gebäude und Spektrale Netzwerke
Paralleltitel (Englisch)
The WKB approximation, harmonic maps to buildings and spectral networks
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
V, 93, 2 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Andrew Neitzke ,
Carlos Simpson
AC Nummer
AC11695441
Utheses ID
29165
Studienkennzahl
UA | 791 | 405 | |