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Group analysis and invariant parameterization in dynamic meteorology
Elsa Maria Dos Santos Cardoso-Bihlo
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Geowissenschaften, Geographie und Astronomie
Betreuer*in
Roman Popovych
DOI
10.25365/thesis.33465
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29904.77427.856162-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit werden Symmetrieeigenschaften von Modellen der dynamischen Meteorologie studiert. Von besonderem Interesse ist die Frage der Konstruktion von physikalischen Parameterisierungsschemata, die zu geschlossenen (gemittelten) Systemen von Differentialgleichungen führen und dieselben Symmetrieeigenschaften wie die (ungemittelten) Originalgleichungen aufweisen.
Im ersten Teil dieser Arbeit entwickeln wir Methoden für die Gruppenklassifikation von Klassen von Differentialgleichungen die als Basis für die Konstruktion invarianter Parameterisierungsschemata dienen sollen. Wir formulieren zum ersten Mal eine systematische Theorie der preliminary group classification und erweitern diese zu einer vollständigen Neuformulierung der algebraischen Gruppenklassifikation. Zur Veranschaulichung der neuentwickelten Theorie klassifizieren wir die Symmetrieeigenschaften einer generalisierten Diffusionsgleichung und einer Klasse von nichtlinearen Wellengleichungen. Für die Diffusionsgleichungsklasse wird die erste vollständige preliminary group classification im Falle einer unendlich dimensionalen Äquivalenzalgebra durchgeführt. Das Klassifikationsproblem für die Wellengleichungsklasse war für mehr als 20 Jahre ungelöst. Beide Beispiele demonstrieren die Vielseitigkeit der verallgemeinerten Klassifikationstechniken, die ein zentraler Bestandteil für die Anwendung auf das invariante Parameterisierungsproblem sind. Letzteres kann im Allgemeinen als ein besonders kompliziertes Klassifikationsproblem aufgefasst werden.
Ein weiteres Werkzeug zur Konstruktion von invarianten Parameterisierungen ist die moving frame Methode, die zu einer vollständigen Beschreibung der Algebra von Differentialinvarianten von Transformationsgruppen verwendet werden kann. Als ein erstes Beispiel präsentieren wir eine ausführliche Beschreibung der Algebra der Differentialinvarianten der Korteweg-de Vries Gleichung. Für diese Algebra finden wir die erste Basis der Differentialinvarianten in expliziter Form.
Im zweiten Teil dieser Arbeit verwenden wir die entwickelten theoretischen Werkzeuge um invariante Parameterisierungsschemata der barotropen Vorticitygleichung auf der Beta-Ebene zu finden. Hier konzentrieren wir uns besonders auf die Konstruktion von invarianten Turbulenzmodellen um freie geophysikalische Turbulenz auf der Beta-Ebene zu simulieren. Wir zeigen, dass die entwickelten Schemata in der Lage sind die k^(-3)-Steigung des Energiespektrums im Enstrophieträgheitsbereich zu reproduzieren. Dieses Ergebnis ist schwer mit traditionellen Turbulenzmodellen zu erreichen. Zudem zeigen wir für das Beispiel der Vorticitygleichung dass es möglich ist die vollständige Basis der Algebra von Differentialinvarianten unendlich dimensionaler Transformationsgruppen zu bestimmen.
Ein weiteres Resultat das mittels Gruppenanalyse hergeleitet wird ist, dass die primitiven Gleichungen auf der f-Ebene auf die primitiven Gleichungen in einem ruhenden Koordinatensystem abgebildet werden können. Das Auffinden solcher nichttrivialen Punkttransformationen ist von großer praktischer Bedeutung für die Konstruktion von Parameterisierungsschemata da sie die Ausgangsgleichungen, für die Parameterisierungen gefunden werden sollen, vereinfachen.
Zudem entwickeln wir eine neue algebraische Methode zur Bestimmung der vollständigen Punktsymmetriegruppe von Differentialgleichungen. Die Methode kombiniert die moderne Begrifflichkeit von megaideals mit der Faktorisierung von inneren Automorphismen nach der Methode von Hydon. Im Gegensatz zu den existierenden Methoden erlaubt die neue algebraische Methode auch die Berechnung von Punktsymmetriegruppen von Differentialgleichungen die eine unendlich dimensionale maximale Lie-Invarianz Algebra besitzen. Wir demonstrieren die Methode mit der Berechnung der vollständigen Symmetriegruppen der Vorticitygleichung auf der Kugel und den primitiven Gleichungen.
Abstract
(Englisch)
This thesis is devoted to a study of symmetry properties of models in dynamic meteorology. In particular, we are interested in investigating the problem of finding parameterization schemes that lead to closed (averaged) systems of differential equations exhibiting the same symmetry properties as their original (unaveraged) counterparts.
In the first part of the thesis we develop tools for the group classification of classes of differential equations that should serve as the basis for invariant parameterization schemes. Thus, we introduce the first systematic theory of preliminary group classification and, more generally, completely revise the algebraic framework of group classification. This theoretical development is exemplified by studying the symmetry properties of a class of generalized diffusion equations and a class of generalized nonlinear wave equations. For the former class, we carry out the first complete preliminary group classification in the case of an infinite dimensional equivalence algebra. The group classification problem for the latter class could not be solved completely for more than 20 years. In total, the two examples investigated show the versatility of the enhanced group classification machinery. This is essential for the application to the invariant parameterization problem which in general leads to challenging group classification problems.
As a further tool for the construction of invariant parameterization schemes we use the moving frame method to describe algebras of differential invariants for transformation pseudogroups. To give a first example, we revise the computation of the algebra of differential invariants for the maximal Lie invariance group of the Korteweg-de Vries equation. Thus, for first time we find a functional basis of this algebra in an explicit form.
In the second part of the thesis we use the above theoretical tools to compute invariant parameterization schemes for the barotropic vorticity equation on the beta-plane. A problem of particular interest here is to derive invariant turbulence models for freely decaying geophysical turbulence on the beta-plane. We verify that invariant turbulence models are capable of reproducing the k^(-3) slope of the energy spectrum in the enstrophy inertial range, which is traditionally hard to find with conventional turbulence models. We also show for the example of the barotropic vorticity equation that it is possible to determine entire functional bases of algebras of differential invariants for infinite dimensional pseudogroups of transformations.
Using tools of group analysis, we construct a nontrivial point transformation reducing the primitive equations on the f-plane to the primitive equations in a resting reference frame. Finding such transformations is of practical relevance in the parameterization problem too as they allow one to simplify the initial system for which closure schemes are sought.
Another feature presented is the development of a new algebraic method for finding the complete point symmetry groups of differential equations. The method rests on a combination of the modern notion of megaideals and Hydon's method of factoring out internal automorphisms of Lie algebras. Unlike existing techniques, the new method can be used to determine complete point symmetry (pseudo)groups of differential equations admitting infinite dimensional maximal Lie invariance algebras. We show the effectiveness of the new approach by computing the complete point symmetry groups of the vorticity equation on the sphere and the primitive equations.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Lie symmetries conservation laws invariant parameterization conservative parameterization group classification differential invariants moving frames complete point symmetry group equivalence group nonlinear wave equation nonlinear diffusion equation Korteweg-de Vries equation vorticity equation primitive equations two-dimensional turbulence
Schlagwörter
(Deutsch)
Lie Symmetrien Erhaltungssätze invariante Parameterisierung konservative Parameterisierung Gruppenklassifikation Differentialinvariante moving frames vollständige Punktsymmetriegruppe Äquivalenzgruppe nichtlineare Wellengleichung nichtlineare Diffusionsgleichung Korteweg-de Vries Gleichung Vorticity Gleichung primitiven Gleichungen zwei-dimensionale Turbulenz
Autor*innen
Elsa Maria Dos Santos Cardoso-Bihlo
Haupttitel (Englisch)
Group analysis and invariant parameterization in dynamic meteorology
Paralleltitel (Deutsch)
Gruppenanalyse und invariante Parameterisierung in der dynamischen Meteorologie
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
VI, 164 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Thomas Wolf ,
Artur Sergyeyev
AC Nummer
AC11803716
Utheses ID
29729
Studienkennzahl
UA | 791 | 415 | |