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Combinatorics of Fuß-Catalan posets associated with reflection groups
Henri Mühle
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Christian Krattenthaler
DOI
10.25365/thesis.33644
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30048.57219.781054-1
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Dissertation untersuchen wir drei verschiedene Familien von geordneten Mengen: die m-Tamariverbände, die kambrischen Halbverbände und die Ordnungen der m-teilbaren nichtkreuzenden Partitionen. Diese Familien haben zwei grundlegende Eigenschaften gemein: zum Einen sind die Kardinalitäten ihrer Elemente durch verallgemeinerte Catalanzahlen gegeben, und zum Anderen entstehen sie im Zusammenhang mit Spiegelungsgruppen.
Wir sind hauptsächlich an topologischen Eigenschaften dieser Ordnungen interessiert, d.h. wir möchten die Natur eines bestimmten topologischen Raumes verstehen, der mit diesen Ordnungen fest verknüpft ist. Wir zeigen, dass diese Ordnungen eine bestimmte Kantenbeschriftung erlauben, woraus folgt, dass der zugehörige topologische Raum ein Sphärenkeil ist. Darüber hinaus können wir die Werte der Möbiusfunktion (und damit die Anzahl und die Dimension der vorkommenden Sphären) mit Hilfe dieser Beschriftung berechnen.
Weiterhin untersuchen wir die m-Tamariverbände und die kambrischen Halbverbände aus einem strukturellen Blickwinkel. Dabei verallgemeinern wir viele Eigenschaften der Tamariverbände, die einen Spezialfall beider betrachteter Ordnungen darstellen. Wir präsentieren Ergebnisse über die Breite, die Länge, die Anzahl der irreduziblen Elemente und die Linksmodularität dieser Ordnungen. Wir zeigen auch, dass die kambrischen Halbverbände beschränkt-homomorphe Bilder freier Verbände sind. Außerdem führen wir eine neue Ordnungskonstruktion ein, die wir die m-Bedeckungsordnung nennen. Wir benutzen diese Konstruktion um einen m-Tamariverband für die Diedergruppen zu definieren, und stellen eine Verbindung zwischen den m-Bedeckungsordnungen der Tamariverbände und den m-Tamariverbänden her.
Abstract
(Englisch)
In this dissertation we investigate three different families of posets: the m-Tamari lattices, the Cambrian semilattices, and the posets of m-divisible noncrossing partitions. These families have two crucial properties in common: on the one hand the cardinalities of their members are given by a generalized Catalan number, and on the other hand they arise in the context of reflection groups.
We are mainly interested in topological properties of these posets, i.e. we want to understand the nature of a certain topological space associated with these posets. We show that these posets admit a certain edge labeling, which implies that the associated topological space is a wedge of spheres. Moreover, we can compute the values of the Möbius function (and hence the number and the dimension of these spheres) from this labeling.
Furthermore we investigate the m-Tamari lattices and the Cambrian semilattices from a structural point of view. We generalize many properties of the Tamari lattices, a special case of both considered families of posets. We present results on the breadth, the length, the number of irreducible elements, and the left-modularity of these posets. We show further that the Cambrian semilattices are bounded-homomorphic images of free lattices. We also introduce a new poset construction, which we call the m-cover poset. We use this construction to define an m-Tamari lattice for the dihedral groups, and we establish a connection between the m-cover posets of the Tamari lattice and the m-Tamari lattices.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Fuß-Catalan combinatorics Fuß-Catalan numbers Reflection groups Coxeter groups Tamari lattices m-Tamari lattices Cambrian semilattices Noncrossing partitions m-divisible noncrossing partitions Poset topology Order complex EL-shellability
Schlagwörter
(Deutsch)
Fuß-Catalan-Kombinatorik Fuß-Catalanzahlen Spiegelungsgruppen Coxetergruppen Tamariverbände m-Tamariverbände kambrische Halbverbände Nichtkreuzende Partitionen m-teilbare nichtkreuzende Partitionen Ordnungstopologie Ordnungskomplex EL-Schälbarkeit
Autor*innen
Henri Mühle
Haupttitel (Englisch)
Combinatorics of Fuß-Catalan posets associated with reflection groups
Paralleltitel (Deutsch)
Kombinatorik von Fuß-Catalan-Ordnungen auf Spiegelungsgruppen
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
XVII, 163 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Christos Athanasiadis ,
Nathan Paul Reading
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.11 Ordnungen, allgemeine mathematische Systeme ,
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie
AC Nummer
AC11814744
Utheses ID
29882
Studienkennzahl
UA | 791 | 405 | |