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Low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds
Melanie Graf
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.33884
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29073.91701.167854-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Masterarbeit behandelt verschiedene Aspekte niedrig regulärer Geometrie auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten und besteht im Wesentlichen aus vier Kapiteln. Das erste gibt eine kurze Einführung in die Theorie der Distributionen (im Sinn von Laurent Schwartz) auf Mannigfaltigkeiten.
Im zweiten Kapitel betrachten wir singuläre Objekte auf einer Mannigfaltigkeit mit einer glatten semi-riemannschen Metrik. Dies erlaubt es uns, erfolgreich Funktionen (und Tensorfelder) von “niedrigster” Regularität, d.h., Distributionen, zu behandeln. Insbesondere interessieren wir uns dabei für Distributionen mit Träger in einer (semi-riemannschen) Hyperfläche.
Im dritten Kapitel hat die Metrik selbst nur noch niedrigere (d.h. Sobolev) Regularität. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Herleitung von Sprungformeln für diverse Krümmungsgrößen, d.h., darauf, wie Riemann- und Riccitensor sowie die Skalarkrümmmung für eine entlang der Hyperfläche unstetige Metrik aussehen. Solche Sprungformeln sind zum Beispiel in der Physik, insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie, aufgrund der Einsteinschen Feldgleichungen von Bedeuntung. Als mathematische Randbemerkung betrachten wir auch noch kurz den Zusammenhang zwischen diesem distributionellen Zugang zu generalisierter Geometrie und einem Colombeau theoretischen Zugang.
Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der Geometrie, die auf einer allgemeinen Hyperfläche durch die Geometrie der gegebenen Mannigfaltigkeit induziert wird. Als Ersatz für das Normalvektorfeld, das bei nirgends lichtartigen Hyperflächen zur Verfügung steht, kann man ein so genanntes Riggingvektorfeld verwenden. Dies führt zu einer Verallgemeinerung der zweiten Fundamentalform sowie der Gauss- und Codazzi-Gleichungen, die sich im Fall einer nirgends lichtartigen Hyperfläche wieder auf die wohlbekannten reduzieren.
Abstract
(Englisch)
This thesis is about different aspects of low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds. The first chapter offers a brief introduction to the theory of distributions (in the sense of Laurent Schwartz) on manifolds.
In the second chapter we look at singular objects on a manifold with a smooth semi-Riemannian metric. The smooth metric allows us to effectively deal with functions (and tensor fields) of the “lowest” regularity, i.e., distributions. In particular we are interested in studying distributions with support in a (semi-Riemannian) hypersurface.
In the third chapter the metric itself has lower (i.e. Sobolev) regularity. The main focus lies on deriving jump formulas for the Riemann and Ricci tensor and the scalar curvature associated with a metric that suffers a jump discontinuity across a hypersurface. Of course the reason why this is of a particular interest lies in physics, mainly general relativity, due to the Einstein field equations. We also take a short look at the compatibility of this distributional approach to generalized geometry and a Colombeau theoretic approach.
The fourth chapter focuses on the geometry induced on a general (i.e. potentially null) hypersurface by a given connection or metric on our manifold. As a substitute for the normal unit vector field (that is only available in the nowhere null case) one may use a so-called rigging vector field. This leads to a generalization of the second fundamental form and the Gauss and Codazzi equations, which reduce to the well-known standard expressions for a nowhere null hypersurface.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
distributions non-smooth geometry semi-riemannian manifolds hypersurfaces multilayer distributions curvature rigging vector field Colombeau theory Gauss and Codazzi equations local Sobolev spaces
Schlagwörter
(Deutsch)
Distributionen semi-riemannnsche Mannigfaltigkeiten Hyperflächen Multilayer lokale Sobolevräume Riggingvektorfeld Krümmung Gauss- und Codazzi-Gleichungen Colombeau Theorie
Autor*innen
Melanie Graf
Haupttitel (Englisch)
Low regularity geometry on semi-Riemannian manifolds
Paralleltitel (Deutsch)
Niedrig reguläre Geometrie auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
69 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
AC Nummer
AC12143511
Utheses ID
30080
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |