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Spherically symmetric, static solutions of the Einstein-Vlasov systm with cosmological constant

Maximilian Thaller

Art der Arbeit

Masterarbeit

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Physik

Betreuer*in

Piotr Chrusciel

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DOI

10.25365/thesis.34833

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-30273.60754.234559-3

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Das Einstein-Vlasov Gleichungssystem beschreibt ein Universum, welches Materie enthält, die sich aus im freien Fall befindlichen Teilchen von gleicher Masse zusammensetzt. Man verwendet das Vlasov Materiemodell um beispielsweise Kugelsternhaufen, Galaxien oder Galaxiehaufen zu modellieren. Als erstes wird eine detaillierte Herleitung des Einstein-Vlasov Systems in Kugelsymmetrie präsentiert. Anschließend werden ausgewählte bereits bekannte Ergebnisse zum System ohne kosmologische Konstante diskutiert, die für spätere Beweise zum System mit nicht verschwindender kosmologischer Konstante wichtig sind. Diese Ergebnisse umfassen die Existenz regulärer Lösungen des Systems, Lösungen mit einem schwarzen Loch im Zentrum, Beschränktheit des Trägers der Materiegrößen und obere Schranken für den Ausdruck m(r)/r, also eine verallgemeinerte Version der Buchdahl Ungleichung. Numerische Berechnungen veranschaulichen wichtige Klassen dieser statischen Lösungen. Für kleine positive kosmologische Konstanten konstruieren wir kugelsymmetrische, statische Lösungen mit regulärem Zentrum. Die Materiegrößen dieser Lösungen haben beschränkten Träger. In der Vakuumregion jenseits des Trägers der Materiegrößen sind diese Lösungen durch die Schwarzschild-de Sitter Metrik gegeben. Für beliebige negative kosmologische Konstanten beweisen wir die Existenz von Lösungen, die für alle Radien einer gewissen Regularität genügen, mittels einer Energieabschätzung. Auch für diesen Fall zeigen wir, dass der Träger der Materiegrößen beschränkt ist. Jenseits dieses Trägers ist die Metrik durch die Schwarzschild-Anti de Sitter Metrik gegeben. Sowohl für positive, als auch für negative kosmologische Konstanten konstruieren wir Lösungen, die ein schwarzes Loch beschreiben, welches von Materie umgeben ist. Man kann diese Lösungen als Schwarzschild-de Sitter beziehungsweise Schwarzschild-Anti de Sitter Raumzeiten mit eingebetteten Kugelschalen aus Vlasov-Materie auffassen. Schließlich stellen wir in Penrose-Diagrammen die maximale analytische Fortsetzung der Metriken, die wir in den vorhergehenden Abschnitten als Lösungen des Einstein-Vlasov Gleichungssystems konstruieren, dar. Die Kugeln und Kugelschalen aus Vlasov-Materie ermöglichen die Konstruktion einiger beachtenswerter Klassen von Raumzeiten mit interessanten Eigenschaften und Topologien.

Abstract

(Englisch)

The Einstein-Vlasov system of equations describes a universe that contains matter consisting of freely falling particles of equal mass. Vlasov matter is used to model for example globular clusters, galaxies or galaxy clusters. A detailed derivation of the static Einstein-Vlasov system in spherical symmetry is given and using the up-to-date notations important existing results on the system with cosmological constant are reviewed in detail. These results include existence of regular solutions, solutions with a Schwarzschild singularity at the center, boundedness of the support of the matter quantities, and bounds on the ratio m(r)/r, also known as Buchdahl inequality. Numerical calculations illustrate important classes of static solutions. For small positive cosmological constants we construct spherically symmetric, static solutions with matter quantities of bounded support and a regular center. In the vacuum region these solutions coincide with the Schwarzschild-de Sitter metric. For arbitrary negative cosmological constants we prove the existence of globally regular solutions via an energy estimate. The matter quantities of these solutions again are shown to have bounded support and the metric coincides with the Schwarzschild-Anti de Sitter metric beyond the matter regions. For both, positive and negative cosmological constants, we construct non-vacuum solutions that have a Schwarzschild singularity at the center. These solutions describe Schwarzschild-de Sitter and Schwarzschild-Anti de Sitter spaces with immersed shells of Vlasov matter surrounding the black hole. Finally we construct Penrose diagrams showing the maximal analytic extensions of the obtained metrics. By virtue of the matter balls and shells several classes of spacetimes with interesting topologies and properties occur.

Autor*innen

Maximilian Thaller

Haupttitel (Englisch)

Spherically symmetric, static solutions of the Einstein-Vlasov systm with cosmological constant

Paralleltitel (Deutsch)

Kugelsymmetrische, statische Lösungen des Einstein-Vlasov Systems mit kosmologischer Konstante

Publikationsjahr

2014

Umfangsangabe

X, 70, 2 S. : graph. Darst.

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Piotr Chrusciel

Klassifikation

33 Physik > 33.21 Relativität, Gravitation

AC Nummer

AC12234728

Utheses ID

30901

Studienkennzahl

UA | 066 | 876 | |

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