Detailansicht
Wittgenstein's relation to formalism
Tom Fery
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Philosophie und Bildungswissenschaft
Betreuer*in
Esther Ramharter
DOI
10.25365/thesis.34842
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30314.15804.274765-0
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Philosophie der Mathematik des späten Wittgensteins ist sehr facettenreich. Seine gesamte Auffassung über Philosophie, Sprache, Mathematik und andere Gebiete durchläuft während seines intellektuellen Lebens einige drastische Veränderungen. Die Zuschreibung bestimmter Schriften, Notizen und Äußerungen zu seiner frühen, seiner mittleren bzw. seiner späten Phase zeugen davon. Doch auch innerhalb dieser Perioden sind seine Überlegungen zu verschiedenen Frage- und Problemstellungen derart vielfältig, dass ein umfassendes Verständnis seiner Leserinnen und Leser eine geradezu aussichtslose Unternehmung darstellen. Aus diesem Grunde ist es hilfreich, seine Ansichten im Verhältnis zu bekannteren Positionen innerhalb der Philosophie zu untersuchen. Im Falle seiner späten Philosophie der Mathematik wurden in der neueren Wittgenstein-Forschung Parallelen zum Formalismus erkannt. Wittgensteins Nähe zum Formalismus wurde von verschiedenen Autoren an verschiedenen Textstellen ergründet. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, auf einige dieser Textstellen hinzuweisen, und zu erörtern inwiefern eine dem Formalismus nahe Interpretation ein neues Licht auf die Debatten um Wittgensteins Philosophie der Mathematik werfen.
Dass ein mathematischer Beweis übersichtlich ist bzw. sein soll, ist eine der zentralen Überlegungen Wittgensteins in seinen "Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik" (BGM), Teil II. Felix Mühlhölzers genauer Kommentar zu diesen Bemerkungen rückt Wittgensteins Auffassung von 'Übersichtlichkeit' in die Nähe von David Hilberts – dem führenden Formalisten Anfang des 20. Jahrhunderts – Auffassung von 'Übersichtlichkeit'. Eine dem entgegen gesetzte Interpretation des Begriffs der Übersichtlichkeit eines mathematischen Beweises liefert Stefan Majetschak. Majetschak argumentiert, dass Wittgensteins Verwendung von 'Übersichtlichkeit' im Kontext der Mathematik vielmehr mit Wittgensteins philosophischer Methode der übersichtlichen Darstellung unseres Sprachgebrauchs zu vergleichen ist. Denn das Übersichtlichmachen des Gebrauchs sprachlicher Ausdrücke ist die Art des Wittgensteinschen Philosophierens, die gerade nicht auf Hypothesen beruht und deren Ergebnisse daher nicht angezweifelt werden können. Und diese Unbezweifelbarkeit ist auch für die Mathematik entscheidend. Eine weitere Lesart von 'Übersichtlichkeit' einen Beweises liefert James R. Brown. Dieser betont Wittgensteins Verwendung von Bildern als Beweise in seinen Überlegungen über die Mathematik. Brown zufolge ist der (Fregesche) Sinn eines Bildes übersichtlich. Und durch das Übersehen des Sinns eines Bildbeweises ist für Brown die Möglichkeit gegeben, dass selbst fehlerhafte Bilder, wie das von Wittgenstein stammende, uns von einer mathematischen Tatsache überzeugen können. Da eine solche Lesart stark von der "Idee" eines Beweises abhängt und sich in dieser Hinsicht völlig von Mühlhölzers formalistischer Lesart von 'Übersichtlichkeit' unterscheidet, spielt auch hier Wittgensteins Verhältnis zum Formalismus eine entscheidende Rolle.
Ein weiterer Aspekt, der von verschiedenen Interpreten verschieden aufgefasst wird, sind Wittgensteins Überlegungen zu Cantors zweitem Diagonalargument und den Ursprüngen transfiniter Mengenlehre. So lassen sich beispielsweise in den BGM III Bemerkungen finden, die auf eine sehr kritische Haltung Wittgensteins der transfiniten Mengenlehre gegenüber schließen lassen. Dies ist vor allem vor Wittgensteins nicht-revisionistischer Haltung die mathematische Praxis betreffend, verwunderlich. Um diese Spannung zu überwinden, haben viele Kommentatoren auf Wittgensteins Unterscheidung zwischen mathematischen Kalkülen – dem technischen Kern der Mathematik – und der Prosa – den umgangssprachlichen Äußerungen der Mathematiker über die Kalküle – hingewiesen. Inwiefern sich diese Kalkül – Prosa-Unterscheidung mit anderen Aspekten von Wittgensteins Philosophie der Mathematik vereinbaren lassen, hängt vom Schwerpunkt der Interpretation ab. Eine mögliche Auslegung beruft sich auch hier auf Wittgensteins Nähe zum Formalismus. Victor Rodychs Ausführungen zeigen, inwiefern sich verschiedene Varianten des Formalismus in Wittgensteins Bemerkungen über transfinite Mengenlehre niederschlagen. Vor allem Wittgensteins Bestehen, darauf, dass "formale Spiele" Anwendungen in der nicht-mathematischen Welt haben müssen, erweist sich hier als ein Kriterium dafür, in welchen Hinsichten Wittgenstein mit formalistischen Ansätzen übereinstimmt, und in welchen nicht.
Um ein auch nur ansatzweise vollständiges Bild von Wittgensteins Überlegungen über die Mathematik zu erhalten, reicht eine Untersuchung wie es die vorliegende ist, freilich nicht aus. Wittgensteins Philosophie der Mathematik ist zu vielfältig, zu sehr mit seinen Überlegungen über Sprache im allgemeinen, über Psychologie und andere Gebiete verwoben, als dass dieser Anspruch erfüllt werden könnte. Dennoch hoffe ich einige Konsequenzen einer gewissen Nähe zwischen Formalismus und Wittgensteins Philosophie der Mathematik aufzeigen zu können.
Abstract
(Englisch)
Wittgenstein's philosophy of mathematics has various facets. Not only did his views concerning philosophy, language, mathematics and other topics pass through dramatic changes during his intellectual life. His interpreters express these changes by referring to different periods of his work: The early Wittgenstein, the intermediate Wittgenstein and the later Wittgenstein are standardly taken to mark some central aspects of his philosophy. But not only are Wittgenstein's views highly varied between his different periods. What's more is that also within a given time, his thoughts on e.g.language and mathematics are extremely hard to grasp even remotely. One way to understand the later Wittgenstein's views on mathematics is to acknowledge a proximity between his ideas and some central ideas of formalism. In recent debates, different authors have done so by focusing on different aspects of Wittgenstein's philosophy of mathematics.
Felix Mühlhölzer has examined the 'surveyability' of a mathematical proof in a very thorough way. Wittgenstein's notion of surveyability of a proof takes a central place in RFM II – an assembly of Wittgenstein's manuscripts in which he discusses the possibility of a foundation of mathematics. In the discussion of RFM II, Mühlhölzer comes to the result that Wittgenstein has in mind a conception of surveyability that comes very close to the conception of surveyability, which David Hilbert – the leading figure of formalism in mathematics at the beginning of the 20th century – held. Such a formalist reading of Wittgenstein's notion of surveyability of a proof is opposed to other readings of this concept. Stefan Majetschak for example argues that when speaking of 'surveyability' of a proof, Wittgenstein means the same thing as when speaking of 'surveyable presentation' as in the context of his later philosophy of language. On this account it is the main goal of philosophy to give a surveyable presentation of our language and the concepts we use, to clarify the sources of philosophical confusion. This method is seen by Majetschak as essentially non-hypothetical, which is in turn the essential methodology of mathematics. James R. Brown provides another reading of surveyability of a proof, one that contrasts with Mühlhölzer's formalist reading. In this reading the use of pictures as proofs in mathematical contexts of Wittgenstein is highlighted. Brown argues that for Wittgenstein it is the sense (in a Fregean fashion of the term) of a picture, which we can grasp, or survey and because of this surveying of the picture's sense we can use pictures as rigorous proofs. And this is also possible when the picture is flawed, as it is the case with Wittgenstein's example that Brown discusses. An essential difference of Brown's understanding of surveyability of a proof and Mühlhölzer's understanding is that in Brown's reading, Wittgenstein is speaking of the surveyability of proof ideas. On Mühlhölzer's formalist interpretation this is exactly not the point of 'surveyability'. It is our surveying of every sign that occurs in a proof that is distinct of the role that a proof plays in our lives.
Another topic that has occupied interpreters of Wittgenstein's philosophy of mathematics is his attitude towards Cantor's diagonal argument and the foundations of transfinite set theory. In RFM III, for example, Wittgenstein seems to criticise set theory quite harshly. On the other hand, on several occasions, Wittgenstein claims that it is of greatest importance not to intervene with mathematical practice from the point of view of a philosopher. Different commentators have dealt with this problem by different means. Most of them agree that the distinction between the core of mathematics, the calculi, and the way mathematicians use to talk about the calculi, the prose, is of central importance here. The main differences among the interpretations can be found in the way this calculus – prose distinction fits in the general outlook of Wittgenstein's philosophy of mathematics. One proposal was offered by Victor Rodych, namely that Wittgenstein's closeness to formalism can serve as a good approximation to his considerations on set theory and that this closeness to formalism can also serve as a kind of indicator up to which extent Wittgenstein's non-revisionistic agenda is held up by himself. One problem we have seen was Wittgenstein's stressing of the application of formal calculi. Without an application to the non-mathematical world, formal calculi are merely "dead" sign-games. For Wittgenstein, transfinite set theory does not have a non-mathematical application and is therefore, at least in Rodych's eyes not real mathematics.
To acknowledge some closeness to formalism in Wittgensteins's philosophy of mathematics will not solve every interpretational or other problem surrounding this area. Wittgenstein's thoughts on mathematics are much too manifold, their roots and their ramifications are far too intertwined with his thoughts on language, psychology, epistemology and many other topics to even get close to this task. But it can, as I hope to show, shed some light on some central ideas of Wittgenstein and it can also shed some light on some central questions surrounding the debate concerning Wittgenstein's philosophy of mathematics.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Wittgenstein Formalism
Schlagwörter
(Deutsch)
Wittgenstein Formalismus
Autor*innen
Tom Fery
Haupttitel (Englisch)
Wittgenstein's relation to formalism
Paralleltitel (Deutsch)
Wittgensteins Verhältnis zum Formalismus
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
80 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Esther Ramharter
Klassifikationen
08 Philosophie > 08.25 Zeitgenössische westliche Philosophie ,
08 Philosophie > 08.34 Sprachphilosophie
AC Nummer
AC12234954
Utheses ID
30909
Studienkennzahl
UA | 066 | 941 | |