Detailansicht
Noethersche und Dedekindsche Ringe
Simone Maria Lechner
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Informatik und Informatikmanagement
Betreuer*in
Gerhard Kowol
DOI
10.25365/thesis.35159
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30260.57524.445562-4
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Noethersche Ringe kann man als Verallgemeinerung von faktoriellen Ringen ansehen, also
von Integritätsringen, in denen sich jedes Element, verschieden von Null und keine Einheit,
eindeutig bis auf die Reihenfolge als Produkt irreduzibler Elemente darstellen lässt.
Sie erfüllen die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale, wodurch Noethersche Ringe charakterisiert
sind.
Dedekindsche Ringe stellen einen Spezialfall von Noetherschen Ringen dar. In diesen
Ringen gilt zusätzlich, dass jedes Primideal maximal ist und dass sie ganz abgeschlossen
in ihrem Quotientenkörper sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in der algebraischen
Zahlentheorie.
In meiner Arbeit untersuche ich zuerst die grundlegenden Sätze der Theorie der
Noetherschen Ringe. Es wird der Hilbertsche Basissatz auf zwei Arten bewiesen. Sodann
werden unter anderem zwei Darstellungssätze für echte Ideale hergeleitet, nämlich
als Produkt beziehungsweise als Durchschnitt von Primäridealen. Danach wird die Frage
der Eindeutigkeit solcher Darstellungen behandelt.
Von hier ausgehend werden Dedekindsche Ringe eingeführt als Ringe, in denen sich
jedes echte Ideal als Produkt von Primidealen schreiben lässt. Es wird gezeigt, dass diese
Darstellung automatisch eindeutig ist. Im Weiteren werden fünf äquivalente Charakterisierungen
Dedekindscher Ringe bewiesen, unter anderem die oben Genannte.
Im letzten Kapitel bringe ich als Beispiele für Dedekindsche Ringe die Ganzheitsringe
algebraischer Zahlkörper. Als wichtigsten Satz beweise ich den sogenannten Zerlegungssatz.
Er besagt, wie sich ganz allgemein das von einer Primzahl erzeugte Hauptideal in
einem Ganzheitsring zerlegt. Ausführlich gehe ich dann auf quadratische Zahlkörper und
ihre Ganzheitsringe ein. Insbesondere begründe ich, warum es verschiedene Zerlegungen
eines Elementes in ein Produkt von irreduziblen Elementen gibt.
Abstract
(Englisch)
Noetherian rings can be seen as a generalization of unique factorization domains, which
are domains where essentially every element can be uniquely written up to order as a
product of irreducible elements. Such domains satisfy the ascending chain condition for
ideals and Noetherian rings are characterized in this way.
If one requires additionally that every prime ideal is maximal and the ring is integrally
closed in its quotient field, then one gets Dedekind rings. These rings play an important
role in algebraic number theory.
At the beginning of my thesis I investigate the basic theorems of the theory of Noetherian
rings: Hilbert’s Basissatz is proved in two ways. This is followed by two theorems
concerning the representation of proper ideals as product or intersection of primary ideals.
Also the problem of uniqueness of these representations is dealt with.
Specializing I introduce Dedekind rings as domains, in which every proper ideal can be
written as a product of prime ideals. Here uniqueness follows immediately. Next I prove
five characterizations of Dedekind rings, one of it is already mentioned above.
In the last chapter rings of integers of algebraic number fields are treated which are the
most important examples of Dedekind rings. The main theorem (Zerlegungssatz) in this
part considers generally the factorization of the principal ideal of a prime number in such
a ring of integers. Finally I focus on quadratic number fields and their rings of integers.
Particularly I explain why certain elements can be factorized into irreducible elements in
various ways.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Noethersch Dedekindsch Primärzerlegung Primidealzerlegung Hilbertscher Basissatz Zahlkörper Ganzheitsringe Zahlringe
Autor*innen
Simone Maria Lechner
Haupttitel (Deutsch)
Noethersche und Dedekindsche Ringe
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
83 S.
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Gerhard Kowol
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie ,
31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren
AC Nummer
AC12189190
Utheses ID
31170
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 884 |