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Curvature bounds in low-regularity geometry
Nathalie Tassotti
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Dr.-Studium der Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
James D.E. Grant
DOI
10.25365/thesis.35614
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30418.57358.375761-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit wird untersucht, wie Beschränkungen an die Krümmung in der Riemannschen Geometrie für nicht-glatte Metriken verwendet werden können.
Im ersten Kapitel untersuchen wir Metriken mit beschränkter skalarer Krümmung. Wir konzentrieren uns auf das "positive mass theorem", das ein wichtiges Resultat in der allgemeinen Relativitätstheorie ist. Nachdem wir einen Überblick über bekannte Resultate gegeben haben, zeigen wir, dass das Theorem auch für stetige Riemannsche Metriken, die im Sobolev Raum $W^{2, n/2}_{\loc}$ liegen, auf Mannigfaltigkeiten mit Dimension $\leq 7$ oder auf Spin-Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension gütig bleibt. Wir leiten eine (negative) untere Schranke an die ADM Masse für Metriken her, deren negative skalare Krümmung eine hinreichend kleine $L^{n/2}$ Norm hat und kompakten Träger besitzt. Wir zeigen, dass eine stetige Riemannsche Metrik der Regularität $W^{2, p}_{\loc}$ für $p > n/2$ mit nichtnegativer skalarer Krümmung im distributionellen Sinn lokal gleichmässig durch glatte Metriken mit nichtnegativer skalarer Krümmung approximiert werden kann. Für stetige Metriken in $W^{2, n/2}_{\loc}$ kann man glatte approximierende Metriken mit nichtnegativer skalarer Krümmung finden, die in $L^p_{\loc}$ für $p < \infty$ konvergieren.
Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Untersuchung von Metriken, deren Ricci Krümmung beschränkt ist. Wir werden Volumsvergleiche untersuchen. Zuerst wird das klassische Resultat von Bishop und Gromov für punktweise Schranken an die Ricci Krümmung dargestellt, dieses wird dann für Metriken, die eine $L^p$ Schranke für $p>n/2$ an den Teil des Ricci Tensors, der die Relation $\Ric \ge c (n-1) \g$ verletzt, verallgemeinert.
Weiters werden wir Volumsabschätzungen und Monotonie-Formeln, die auf Integralnormen einer gewichteten Version des Negativteils der Ricci Krümmung entlang radialer Geodäten von jedem Punkt aus, herleiten. Die Verwendung dieser gewichteten Krümmungsgrössen führt zu schärferen Abschätzungen, die auch im Fall $p=n/2$ gültig bleiben.
Im dritten Teil untersuchen wir Folgen von Mannigfaltigkeiten und ihre Konvergenzeigenschaften. Wir zeigen wie eine, sowohl punktweise, als auch eine $L^p$ Schranke, an die Ricci Krümmung zu Gromov-Hausdorff Konvergenz führen.
Weiters werden wir auch zeigen, dass die Menge der Mannigfaltigkeiten, die die Krümmungseigenschaften von Kapitel 2 aufweist, kompakt in der Gromov-Hausdorff Topologie ist.
Wir werden auch harmonische Koordinaten und deren Verwendung in Beweisen von Konvergenzresultaten in bestimmten Sobolev oder Hölder Räumen diskutieren. Ein vollständiger, detaillierter Beweis der $\Ckalpha{k}{\alpha}$ Konvergenz von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit bestimmten Schranken an die Ricci Krümmung wird gegeben.
Schlussendlich betrachten wir auch Folgen von Mannigfaltigkeiten mit einer $L^p$-Schranke an die Ricci Krümmung. Wir beschreiben, wie eine zusätzliche Schranke an den gesamten Krümmungstensor zu Konvergenz in Hölder Räumen führt.
Abstract
(Englisch)
The main topic of this thesis is the use of curvature bounds for Riemannian manifolds with non-smooth metrics. In the first chapter we study scalar curvature bounds. Here we will focus on the positive mass theorem. After providing an overview of well-known results, we will show that the positive mass theorem remains valid for continuous Riemannian metrics that are of regularity $W^{2, n/2}_{\loc}$ on manifolds of dimension $n\leq 7$ or spin-manifolds of any dimension. We give a (negative) lower bound on the ADM mass of metrics for which the scalar curvature fails to be non-negative, where the negative part has compact support and has sufficiently small $L^{n/2}$ norm. We show that a Riemannian metric in $W^{2, p}_{\loc}$ for some $p > \frac{n}{2}$ with non-negative scalar curvature in the distributional sense can be approximated locally uniformly by smooth metrics with non-negative scalar curvature. For continuous metrics in $W^{2, n/2}_{\loc}$, there exist smooth approximating metrics with non-negative scalar curvature that converge in $L^p_{\loc}$ for all $p < \infty$.
The second chapter consists of the study of metrics that satisfy bounds on the Ricci curvature. In particular, we will study volume comparison results. We will first state the classical volume comparison result for pointwise Ricci curvature bounds due to Bishop and Gromov and we will afterwards provide generalizations for metrics that only satisfy an $L^p$ bound for $p>n/2$ on the part of the Ricci tensor that violates $\Ric \ge c (n-1) \g$.
We will develop volume estimates and monotonicity formula based on integral norms of a weighted version of the negative part of Ricci along radial geodesics from each point. The use of \emph{weighted\/} curvature quantities will lead to sharper formulae in volume comparison calculations that also hold for $p=n/2$.
In the third chapter we will study sequences of manifolds and their convergence properties. We will discuss how a pointwise bound on $\Ric$ as well as an $L^p$-bound leads to Gromov-Hausdorff convergence. Furthermore, we will also see that the space of manifolds satisfying the curvature bounds as described in Chapter 2 are compact in the Gromov-Hausdorff topology.
We will also investigate harmonic coordinates and their use for proving convergence results in certain Sobolev or Hölder spaces. We will provide a complete detailed proof of $\Ckalpha{k}{\alpha}$ convergence of Riemannian manifolds that satisfy certain bounds on the Ricci curvature.
We will finally consider sequences of manifolds with an $L^p$ bound on the Ricci curvature. We will describe how an additional bound on the full curvature tensor leads to convergence in Hölder spaces.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Riemannsche Geometrie Krümmung
Autor*innen
Nathalie Tassotti
Haupttitel (Englisch)
Curvature bounds in low-regularity geometry
Paralleltitel (Deutsch)
Krümmungsschranken in niedrig-regulärer Geometrie
Publikationsjahr
2014
Umfangsangabe
X, 102 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Michael Kunzinger ,
Tobias Lamm
AC Nummer
AC12181140
Utheses ID
31564
Studienkennzahl
UA | 791 | 405 | |