Detailansicht
Asymptotics of nonlinear diffusion and fluid synamics equations
Marcus Philipp Paul Wunsch
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Peter Markowich
DOI
10.25365/thesis.3676
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29272.62852.931964-7
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Dissertation zerfällt in drei Teile: Der erste behandelt Themen des Optimalen Transports, der zweite das Verhalten von Lösungen von Modellgleichungen der Strömungsmechanik, und der letzte stetige monoton steigende singuläre Funktionen. Der erste Teil beginnt mit einem historischen Abriss der Theorie des Optimalen Transports seit den Arbeiten von Gaspard Monge und führt über eine eingehende Behandlung der Eigenschaften der Wasserstein-Distanzen zur Präsentation des ersten Resultats des Autors über das Langzeitverhalten von Lösungen des gekoppelten Drift-Diffusion-Poisson -- Modells aus der Halbleitertechnik. Weiters wird bewiesen, dass ein Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen auf dem quadratischen Wassersteinraum eindeutig lösbar ist und das entsprechende zeitdiskrete Schema Lösungen einer nichtlokalen Fokker-Planck´schen Gleichung approximiert. Der zweite Teil behandelt zwei Modellgleichungen, welche den Euler´schen Gleichungen für inkompressible Flüssigkeiten abgeleitet sind. Für erstere, die verallgemeinerte Proudman-Johnson´schen Gleichung, werden für Spezialfälle einfache Beweise für den Verlust der Regularität von Lösungen nach endlicher Zeit gegeben. Für die verallgemeinerte Constantin-Lax-Majda´schen Gleichung wird gezeigt, dass es ein dem dreidimensionalen Falle entsprechendes Fortsetzungskriterium gibt. Im letzten Teil stellen wir ein Verfahren zur Erzeugung stetiger monoton steigender singulärer Funktionen vor.
Abstract
(Englisch)
This thesis consists of three parts. The first is concerned with topics from optimal transport, the second deals with the behavior of solutions to model equations in fluid dynamics, and the third part treats continuous monotonously increasing singular functions. The first part commences with a historical introduction to the theory of optimal transport since the seminal contributions of Monge, continues with a detailed description of the properties of Wasserstein distances and displays the first result of the author on the large-time asymptotics of solutions to the coupled drift-diffusion-Poisson system. Moreover, it is proven that a constrained minimization problem on the quadratic Wasserstein space is uniquely solvable, yielding a time-discrete scheme approximating the solution to a nonlocal Fokker-Planck equation. The second part is concerned with two model equations in one space dimension derived from the famous Euler equations. We demonstrate, for some special cases, simple proofs of the loss of regularity in finite time of solutions to the so-called generalized Proudman-Johnson equation. Moreover, this part presents a continuation result for solutions to the generalized Constantin-Lax-Majda equation reminiscent of the three-dimensional case. In the last part, we introduce a constructive method for obtaining continuous monotonously increasing singular functions.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
nonlinear diffusion equations optimal transport Wasserstein distances constrained optimization Euler equations finite-time blow-up singular functions
Schlagwörter
(Deutsch)
nichtlineare Diffusionsgleichungen optimaler Transport Wasserstein´sche Distanzen Opimierung mit Nebenbedingungen Euler´sche Gleichungen spontane Singularitäten singuläre Funktionen
Autor*innen
Marcus Philipp Paul Wunsch
Haupttitel (Englisch)
Asymptotics of nonlinear diffusion and fluid synamics equations
Paralleltitel (Deutsch)
Langzeitverhalten von Lösungen nichtlinearer Diffusionsgleichungen sowie von Gleichungen der Strömungsmechanik
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
XI, 105 Bl.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Wilfrid Gangbo ,
Adrian Constantin
AC Nummer
AC05040162
Utheses ID
3230
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |