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Height functions and the ring of adeles over a global field
Florian Aigner
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Joachim Schwermer
DOI
10.25365/thesis.36559
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29882.97702.255266-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring A_K über einem globalen Körper K mit dem Ziel, sechs grundlegende Eigenschaften von diesen zu beweisen. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Bewertungstheorie, um das nötigte Hintergrundwissen zu vermitteln. Mithilfe des direkten eingeschränkten Produktes von lokal kompakten Gruppen wird der Adelring A_K und die Idelgruppe I_K über einem globalen Körper K definiert und deren für diese Arbeit relevanten grundlegenden Eigenschaften präsentiert und bewiesen. Mit den Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum über einem globalen Körper werden wir erste Beispiele von Höhenfunktionen sehen. Abschließend werden wir Höhenfunktionen auf freien Moduln über dem Adelring über einem globalen Körper K betrachten. Die sechs Eigenschaften von diesen Höhenfunktionen die wir beweisen werden lassen sich wie folgt zusammenfassen:
Alle Höhenfunktionen sind äquivalent zueinander, wobei Äquivalenz hier analog wie bei Normen auf Vektorräumen definiert ist. Das Bild einer Nullfolge unter einer Höhenfunktion ist wieder eine Nullfolge. Ist umgekehrt das Bild einer Folge von primitiven Elementen unter einer Höhenfunktion eine Nullfolge, so kann man jedes Folgenglied mit einem Skalar aus K ungleich Null multiplizieren sodass man eine Nullfolge erhält. Für jede reelle Zahl B und jeder Hhenfunktion h gibt es bis auf Multiplikation mit Skalaren aus K nur endlich viele Punkte P mit Komponenten aus K und h(P) <= B. Die letzten beiden Eigenschaften behandeln das Verhalten von Höhenfunktionen unter Multiplikation der Argumente mit Skalaren aus A_K^* und unter A_K-Basiswechsel.
Abstract
(Englisch)
This thesis deals with height functions on free modules over the adele ring A_K over a global field K and is aimed at proofing six fundamental properties of these height functions. It starts with an introduction into valuation theory to give the needed background knowledge. By using the direct restricted product of locally compact groups we can define the adele ring A_K and the idele group I_K over a global field K and prove their properties pertinent to this thesis. The first example for height functions given in this thesis are height functions on the projective space over global fields. Finally we deal with height functions on free modules over the adele ring over a global field K. The six properties of these height functions, as mentioned above, can be summarised as following:
All height functions are equivalent, where the equivalence is defined analogously as for norms on vector spaces. The image of a null sequence under a height function is a null sequence. Conversely if the image of a sequence of primitive elements under a height function is a null sequence, we can multiply every element of the sequence by a non zero scalar from K and obtain thereby a null sequence. For every real number B and every height function h there exist up to multiplication by scalars from K only finitely many points $P$ with components in K and h(P) <= B. The last two properties deal with the behaviour of height functions when the argument is multiplied by an scalar from A_K^* or when a change of A_K-basis is applied.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
height functions adele idele valuation theory
Schlagwörter
(Deutsch)
Höhenfunktion Adel Idel Bewertungstheorie
Autor*innen
Florian Aigner
Haupttitel (Englisch)
Height functions and the ring of adeles over a global field
Paralleltitel (Deutsch)
Höhenfunktionen und der Adelring über einem globalen Körper
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
50 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Joachim Schwermer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC12249702
Utheses ID
32409
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |