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Constructive Rellich compactness
Oliver Skocek
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Ilaria Perugia
DOI
10.25365/thesis.37726
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29862.46369.465863-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die von Wang, Bridges und McKubre entwickelte konstruktive Theorie des Dirichletproblems der Poisson-Gleichung wird vorgestellt. Hierbei wird Bridges und McKubres Brouwer'sches Gegenbeispiel zur Existenz von Lösungen des Problems für beliebige stetige Randbedingungen und beliebige integrierbare, total-beschränkte offene Teilmengen des $\mathbb{R}^2$ gegeben. Weiters wird ein Theorem von Wang vorgestellt, dass zur Lösbarkeit des Dirichletproblems der Poisson-Gleichung für beliebiege L^2-Funktionen als Inhomogenität äquivalente Bedingungen gibt. Zu diesen Bedingungen zählt der Rellich-Kondrachov'sche Kompaktheitssatz, dem der Rest der Arbeit gewidmet ist.
Es wird ein Kriterium an offene Teilmengen $\Omega$ des $\mathbb{R}^n (n $\geq$ 1) (Definition 3.4) und ein Beweis des Rellich-Kondrachov'schen Kompaktheitssatzes für jene $\Omega$, die diesem Kriterium genügen, gegeben (Theorem 4.14). Jenes Kriterium wird ebenfalls für zwei große Beispielklassen (sternförmig-zusammenhängende Gebiete und eine spezielle Klasse von C^1-Gebieten) von offenen Teilmengen gezeigt (Theorem 3.16, Theorem 3.15).
Abstract
(Englisch)
The constructive theory of the Dirichlet problem for the Poisson equation, developed by Wang, Bridges and McKubre, will be presented. As part of this task Bridges's and McKubre's Brouwerian counterexample to the existence of solutions of the problem for arbitrary continuous boundary conditions and arbitrary integrable, totally bounded open subsets of $\mathbb{R}^2$ will be given. Additionally a theorem of Wang, giving equivalent conditions to the solvability of the Dirichlet problem for arbitrary $L^2$-functions as an inhomogeneity, will be presented. The rest of the thesis will be devoted to one of these conditions, the Rellich-Kondrachov-Theorem.\\
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A property of open subsets $\Omega$ of $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 1$) (Definition 3.4) will be defined, as well as a proof of the Rellich-Kondrachov-Theorem for those $\Omega$s admitting this property (Theorem 4.14). This property will also be proven (Theorem 3.16, Theorem 3.15) for two big classes of open subsets of $\mathbb{R}^n$ (star-shaped domains and a special class of $C^1$-domains)
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Constructive Analysis Partial differential equations Rellich-Kondrachov-Theorem Dirichlet problem of the Poisson equation
Schlagwörter
(Deutsch)
Konstruktive Analysis Partielle Differentialgleichungen Rellich-Kondrachov-Theorem Dirichletproblem der Poissongleichung
Autor*innen
Oliver Skocek
Haupttitel (Englisch)
Constructive Rellich compactness
Paralleltitel (Deutsch)
Konstruktive Rellich Kompaktheit
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
IV, 42, 2 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Ilaria Perugia
AC Nummer
AC12386633
Utheses ID
33445
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |