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Infinitely presented graphical small cancellation groups
coarse embeddings, acylindrical hyperbolicity, and subgroup constructions
Dominik Gruber
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Goulnara Arzhantseva
DOI
10.25365/thesis.38520
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30064.21981.237870-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Graphische Small-Cancellation-Theorie wurde von Gromov als Werkzeug zur Konstruktion endlich erzeugter Gruppen mit vorgegebenen Teilgraphen in ihren Cayleygraphen eingeführt. Diese Theorie hat die einzig bekannten Gegenbeispiele zur Baum-Connes-Vermutung mit Koeffizienten erbracht, ebenso wie die einzig bekannten endlich erzeugten Gruppen ohne Yus Eigenschaft A. In dieser Dissertation untersuchen wir graphische Small-Cancellation-Gruppen und konzentrieren uns dabei auf die Verallgemeinerungen der klassischen C(6), C(7) und C'(1/6) Small-Cancellation-Bedingungen in der graphischen Small-Cancellation-Theorie, sowohl über freien Gruppen als auch über freien Produkten.
Zuerst erweitern wir fundamentale Methoden und Ergebnisse der klassischen Small-Cancellation-Theorie auf die graphische Small-Cancellation-Theorie und beweisen Resultate über van Kampen-Diagramme, Dehn-Funktionen und Aspherizität. Dann konzentrieren wir uns auf die Eigenschaften unendlich präsentierter graphischer Small-Cancellation-Gruppen. Wir zeigen, dass die graphische Gr(6)-Bedingung unendlich präsentierte Gruppen mit grob eingebetteten vorgegebenen unendlichen Folgen endlicher Graphen erzeugt, und wir beweisen dass viele unendlich präsentierte graphische Gr(7)-Gruppen und Gr'(1/6)-Gruppen lakunär hyperbolisch sind. Wir zeigen auch, dass alle unendlich präsentierten graphischen Gr(7)-Gruppen nichtabelsche freie Untergruppen enthalten und beweisen das stärkere Resultat, dass sie azylindrisch hyperbolisch sind. Weiters zeigen wir, dass alle unendlich präsentierten klassischen C(6)-Gruppen SQ-universal sind.
Mithilfe unserer Methoden aus der graphischen Small-Cancellation-Theorie konstruieren wir Gruppen mit zuvor unbekannten Eigenschaften. Wir erzeugen die ersten Gruppen, deren Divergenzfunktionen zwischen polynomiellen und exponentiellen Funktionen liegen. Für jedes k konstruieren wir eine torsionsfreie Gromov-hyperbolische Gruppe, sodass alle ihre Untergruppen von Index höchstens k nicht die Eigenschaft des eindeutigen Produkts haben. Indem wir zeigen, dass graphische Gr'(1/6)-Gruppen keine verzerrten Untergruppen besitzen, erzeugen wir die ersten Beispiele klassischer C(7)-Gruppen, die keine graphischen Gr'(1/6)-Präsentationen haben.
Abstract
(Englisch)
Graphical small cancellation theory was introduced by Gromov as a tool for constructing finitely generated groups with prescribed subgraphs embedded in their Cayley graphs. It has provided the only known counterexamples to the Baum-Connes conjecture with coefficients and the only known finitely generated non-coarsely amenable groups. In this thesis, we study graphical small cancellation groups, concentrating on the generalizations to graphical small cancellation theory of the classical C(6), C(7), and C'(1/6) small cancellation conditions, both over free groups and over free products.
We first extend fundamental methods and results of classical small cancellation theory to graphical small cancellation theory, proving results about van Kampen diagrams, Dehn functions and asphericity. We then focus on properties of infinitely presented graphical small cancellation groups. We show that the graphical Gr(6)-condition provides infinitely presented groups with coarsely embedded prescribed infinite sequences of finite graphs, and we prove that many infinitely presented graphical Gr(7)-groups and Gr'(1/6)-groups are lacunary hyperbolic. We also show that all infinitely presented graphical Gr(7)-groups contain non-abelian free subgroups and, more strongly, are acylindrically hyperbolic. Moreover, we prove that all infinitely presented classical C(6)-groups are SQ-universal.
We apply our methods of graphical small cancellation theory to construct groups with previously unknown properties. We provide the first groups whose divergence functions lie in the gap between polynomial and exponential functions. For every k, we produce a torsion-free Gromov hyperbolic group all of whose subgroups up to index k do not have the unique product property. By showing that all cyclic subgroups in graphical Gr'(1/6)-groups are undistorted, we provide the first examples of classical C(7)-groups that do not admit any graphical Gr'(1/6)-presentations.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
geometric group theory small cancellation theory Gromov hyperbolic groups acylindrically hyperbolic groups coarse embeddings SQ-universal groups subgroup distortion unique product property
Schlagwörter
(Deutsch)
geometrische Gruppentheorie Small-Cancellation-Theorie Gromov-hyperbolische Gruppen azylindrisch hyperbolische Gruppen grobe Einbettungen SQ-universale Gruppen Verzerrung von Untergruppen Eigenschaft des eindeutigen Produkts
Autor*innen
Dominik Gruber
Haupttitel (Englisch)
Infinitely presented graphical small cancellation groups
Hauptuntertitel (Englisch)
coarse embeddings, acylindrical hyperbolicity, and subgroup constructions
Paralleltitel (Deutsch)
Unendlich präsentierte graphische Small-Cancellation-Gruppen
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
VIII, 133 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Thomas Delzant ,
Daniel Wise
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.21 Gruppentheorie ,
31 Mathematik > 31.50 Geometrie: Allgemeines
AC Nummer
AC12717025
Utheses ID
34126
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |