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Time-frequency localization and sampling in Gabor analysis
Gino Angelo Velasco
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Dr.-Studium der Naturwissenschaften Mathematik
Betreuer*in
Hans Georg Feichtinger
DOI
10.25365/thesis.38522
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29063.38652.304554-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Studium Zeit-Frequenz-lokalisierter Funktionen, insbesondere deren Abtastung, Approximation und Rekonstruktion im Gabor Kontext, sowie der Konstruktion adaptiver Transformationen und deren Verwendung zur Verarbeitung von Audiosignalen. Zeit-Frequenz-Lokalisierungsoperatoren liefern uns Werkzeuge zur Beschreibung der Konzentration, beziehungsweise Lokalisation, von Funktionen in einer gewissen Region der Zeit-Frequenz-Ebene. Wir charakterisieren die Konzentration einer Funktion in solchen Regionen und vergleichen unterschiedliche Lokalisationsmaße, um schliesslich die Approximation Zeit-Frequenz-lokalisierter Funktionen durch lokale Gaborsysteme zu untersuchen. In einem geeigneten Maß der Zeit-Frequenz-Lokalisation können wir den Approximationsfehler nach oben abschätzen. Insbesondere zeigen wir, dass Funktionen, welche in einem von den Eigenfunktionen eines Lokalisierungsoperators generierten Unterraum liegen, in folgendem Sinne durch lokale Gaborsysteme beschrieben werden können: Vergrößern wir die durch den Lokalisierungsoperator beschriebene Zeit-Frequenz-Region ausreichend, so erfüllt das auf diese vergrößerte Region eingeschränkte lokale Gaborsystem eine Art Frame-Ungleichung für Funktionen im von den Eigenfunktionen aufgespannten Unterraum. Dies erlaubt die Konstruktion von Zeit-Frequenz-Systemen aus, bezüglich einer bestimmten Region, maximal konzentrierten Funktionen, so dass eine Familie solcher Funktionen ein globales Frame ist. Weiters untersuchen wir die zuällige Abtastung Zeit-Frequenz-lokalisierter Funktionen und bestimmen die Wahrscheinlichkeit, mit welcher für solche lokalisierten Funktionen eine Sampling-Ungleichung gilt, abhängig von der Region der Lokalisierung. Außerdem präsentieren wir zwei Methoden zur Konstruktion adaptiver, Zeit-Frequenz-basierter Transformationen durch (a) Zeit-Frequenz-lokalisierte Unterräume und (b) nichtstationäre Gaborsysteme, sowie ihre Vorteile im Kontext der Audiosignalverarbeitung. Wir zeigen, dass näherungsweise Projektion auf Zeit-Frequenz-lokalisierte Unterräume zu einer Verminderung des Rekonstruktionsfehlers bezüglich der zugehörigen Analysekoeffizienten führt. Außerdem diskutieren wir die Konstruktion nichtstationärer Gaborsysteme mit fehlerloser Rekonstruktion und ihre Anwendung in der Signalverarbeitung, unter anderem am Beispiel einer invertierbaren Constant-Q Transformation.
Abstract
(Englisch)
The purpose of this research is to study time-frequency localized functions, the sampling, approximation and reconstruction of such functions in the Gabor setting, and to construct some adaptive transforms that can be applied to audio signal processing. We first investigate functions that satisfy some localization in a region in the time-frequency plane using the tools from time-frequency localization operators. We characterize a function's concentration in a region in the time-frequency plane and compare some measures of localization. We then consider the approximation of time-frequency localized functions using a local Gabor system. We obtain approximation estimates in terms of a time-frequency localization measure. We show that if a function lies on a subspace generated by eigenfunctions of a time-frequency localization operator on a bounded region, we can choose an enlargement of the region such that the local Gabor system over time-frequency points on the larger region satisfies a frame-like inequality on the subspace. This would allow for the construction of a time-frequency dictionary consisting of functions that are maximally concentrated in the region, and a family of these dictionaries forming a global frame. We also study the random sampling of functions that are localized in a region in the time-frequency plane. We determine the probability that a sampling inequality holds for time-frequency localized functions using sampling points in the region of concentration. Lastly, we present two adaptive time-frequency based transforms - via time-frequency localized subspaces and via nonstationary Gabor frames, and present their advantages in audio signal processing. We show that applying an approximate projection onto the time-frequency localized subspaces exhibits a reduction in the error in reconstructing a signal from the corresponding analysis coefficients. For nonstationary Gabor frames, we show that perfect reconstruction is easily realizable in the painless case, and we illustrate its applications in signal processing, e.g.~obtaining an invertible constant-Q transform.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
time-frequency localization sampling approximation Gabor analysis adaptive transforms
Schlagwörter
(Deutsch)
Zeit-Frequenz Lokalisierung Abtastung Approximation Gabor Analyse adaptive Transformationen
Autor*innen
Gino Angelo Velasco
Haupttitel (Englisch)
Time-frequency localization and sampling in Gabor analysis
Paralleltitel (Deutsch)
Zeit-Frequenz Lokalisierung und Abtastung in Kontext der Gabor Analysis
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
VII, 91 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Bruno Torrésani ,
Gerald Matz
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC12716891
Utheses ID
34128
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |