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Sampling and reconstruction in distinct subspaces using oblique projections

Peter Berger

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)

Betreuer*in

Karlheinz Gröchenig

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DOI

10.25365/thesis.39351

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-29471.87624.898153-2

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Approximation von Signalen, wobei die Messungen dieser Signale in einem anderen Raum liegen als die Rekonstruktionen. Die in dieser Arbeit vorgestellte Rekonstruktionsmethode verwendet eine optimale Gewichtung der Messungen und projiziert daher so orthogonal wie möglich auf den Rekonstruktionsraum. Diese Herangehensweise ist auch optimal, wenn ein systematischer Fehler vor dem Messprozess auftritt. Adcock, Gataric und Hansen gewichteten die Punktauswertungen der Fourier-Transformation, um eine bessere Projektionsrichtung auf den Rekonstruktionsraum zu erhalten. Diese Theorie kann zum Beispiel verwendet werden, um Funktionen mit kompaktem Träger von unregelmäßigen Punktauswertungen der Fourier-Transformation zu approximieren. Das Gewichten der Messungen hat jedoch einen großen Nachteil: Die Stabilität bezüglich des Fehlers auf den Messwerten wird reduziert. Die Berechnung der Approximation ohne Gewichte ist in gewissem Sinne am stabilsten bezüglich des Fehlers auf den Messwerten und wird von Adcock und Hansen als "generalized sampling" bezeichnet. Wir zeigen, wie man stetig zwischen diesen beiden extremen Rekonstruktionsmethoden variieren kann. Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit der Approximation einer Funktion in drahtlosen Sensornetzwerken, welche durch eine Linearkombination endlich vieler Basisfunktionen mit kompaktem Träger modelliert werden. Wir verwenden die im ersten Teil der Arbeit präsentierte Theorie, um einen neuen hierarchischen Rekonstruktionsalgorithmus zu entwickeln. Die Absicht ist, die Messungen lokal zu verarbeiten (durch Berechnung innerer Produkte mit bestimmten Vektoren) und die resultierenden Daten anstatt der Sensormessungen zu übertragen. In überabgetasteten Systemen führt diese Herangehensweise zu einer Reduktion der Kommunikationsarbeit.

Abstract

(Englisch)

This PhD project is about sampling and reconstruction of signals in distinct subspaces. The reconstruction method presented in the thesis uses the optimal weighting of the measurements and therefore projects as close as possible to the orthogonal projection onto the reconstruction space. Furthermore, we prove that this reconstruction method is the most stable with respect to a systematic error appearing before the sampling process. Adcock, Gataric and Hansen weighted the point samples of the Fourier transform in order to obtain a projection direction closer to the orthogonal projection onto the reconstruction space. This theory can be used for example to approximate compactly supported functions from nonuniform point samples of the Fourier transform. Weighting the measurements has a major drawback that the stability with respect to measurement errors is reduced. The approximation calculated from unweighted measurements is in some sense most stable with respect to error present in the measurements and is called generalized sampling by Adcock and Hansen. We investigate how to vary continuously between the two extreme reconstruction methods. In the last chapter, we consider the reconstruction of a non-bandlimited function represented by a finite number of compactly supported generating functions in wireless sensor networks. Using the theory presented in the first part, we develop a novel hierarchical reconstruction. The idea is to preprocess the sensor measurements locally by taking inner products with suitable vectors and to send the resulting data (rather than sensor measurements) to a global fusion center for further processing. In oversampled regimes, this approach reduces communication workload.

Autor*innen

Peter Berger

Haupttitel (Englisch)

Sampling and reconstruction in distinct subspaces using oblique projections

Paralleltitel (Deutsch)

Messung und Approximation in unterschiedlichen Räumen unter der Verwendung schiefer Projektionen

Publikationsjahr

2015

Umfangsangabe

IX, 160 S. : Ill.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Gerald Matz ,

Martin Ehler

Klassifikation

31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse

AC Nummer

AC12716926

Utheses ID

34858

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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Schlagwörter