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Quaternion-Algebren und quadratische Formen der Dimension 6
Klaus Frank
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Joachim Schwermer
DOI
10.25365/thesis.40570
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29700.95159.820659-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit behandelt das Tensorprodukt zweier Quaternion-Algebren Q(a_1,a_2|K)\otimes_KQ(b_1,b_2|K) über einem Körper K der Charaktistik ungleich 2. Ziel dieser Arbeit ist es, zu beweisen, dass das Tensorprodukt zweier Quaternion-Algebren über K genau dann eine Divisionsalgebra ist, wenn die quadratische Form <a_1,a_2,-a_1a_2,-b_1,-b_2,b_1b_2> anisotrop ist. Das erste Kapitel gibt eine Einführung in die Theorie von Involutionen auf K-Algebren. Das zweite und dritte Kapitel behandeln den Raum der 4x4-schiefymmetrischen Matrizen mit Einträgen in K. Im vierten Kapitel wird für das Tensorprodukt zweier Quaternion-Algebren über K ein quadratischer Raum definiert, nämlich die Albert-Form. Das fünfte Kapitel behandelt Ähnlichkeit von quadratischen Räumen. Und zwar heißen zwei quadratische Räume (V,q) und (V',q') ähnlich, wenn es einen K-Vektorraum-Isomorphismus \varphi:V\rightarrow V' und ein Skalar \lambda\in K^* gibt, sodass q'\circ\varphi=\lambda q gilt. Es wird gezeigt, dass die Tensorprodukte A\otimes_K B und C\otimes_KD von Quaternion-Algebren A,B,C,D über K genau dann als K-Algebren isomorph sind, wenn die dazugehörigen Albert-Formen ähnlich zueinander sind. Im sechsten Kapitel wird dann das Kriterium bewiesen, dass das Tensorprodukt A\otimes_K B genau dann eine Divisionsalgebra ist, wenn die Albert-Form anisotrop ist.
Abstract
(Englisch)
The thesis at hand deals with the tensor product of two quaternion-algebras Q(a_1,a_2|K)\otimes_KQ(b_1,b_2|K) over a field of characteristic not equal to 2. The objective of this paper is to prove that the tensor product of two quaternion-algebras is a division algebra over K if and only if the quadratic form <a_1,a_2,-a_1a_2,-b_1,-b_2,b_1b_2> is anisotropic. The first chapter is an introduction to the issues of the involutions on K-algebras. The second and third chapter deal with 4x4-skew-symmetric matrices with entries in K. A quadratic space, the Albert-form, is definied for the tensor product of two quaternion-algebras over K in the fourth chapter. The fifth chapter is about the similarity of quadratic spaces. In fact two quadratic spaces (V,q) and (V',q') are similar, if there exist a K-linear isomorphism \varphi:V\rightarrow V' and a scalar \lambda\in K^*, such that q'\circ\varphi=\lambda q. It is proved that the tensor product A\otimes_KB and C\otimes_KD of quaternion-algebras A,B,C,D over K are isomorphic if and only if the corresponding Albert-forms q(A,B) and q(C,D) are similar. In the sixth chapter the criterion has been proven that the tensor product A\otimes_KB is a division algebra over K if and only if the Albert-form is anisotropic.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Quaternion-algebras quadratic forms Clifford-algebras involutions Albert-form
Schlagwörter
(Deutsch)
Quaternion-Algebren quadratische Formen Clifford-Algebren Involutionen Albert-Form
Autor*innen
Klaus Frank
Haupttitel (Deutsch)
Quaternion-Algebren und quadratische Formen der Dimension 6
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
45 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Joachim Schwermer
AC Nummer
AC13240944
Utheses ID
35931
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |